Determine:
integral raizx^2-42 x d x, usando a substituição x=2 sec theta

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral raizx^2-42x,dx
usando a substituição x=2sectheta.
O conteúdo é aplicação de substituição trigonométrica para integrar expressões do tipo raizx^2-a^2. Vamos precisar das identidades
sec^2theta - 1 = tan^2theta
e da expressão de dx em função de dtheta, além de saber reverter theta em termos de x.

Passo 2

Fazendo
x = 2sectheta,
temos
dx = 2secthetatantheta,dtheta,
e
raizx^2-4 = raiz4sec^2theta - 4 = 2raizsec^2theta - 1 = 2tantheta

Passo 3

Substituindo na integral original,
integral raizx^2-42x,dx = integral 2tantheta2cdot (2sectheta);l(2secthetatantheta,dthetar)
Simplificando dentro do integrando:
2tantheta4secthetacdot 2secthetatantheta = tan^2theta
Logo a integral vira
integral tan^2theta,dtheta

Passo 4

Usamos a identidade tan^2theta = sec^2theta -1. Assim,
integral tan^2theta,dtheta = integral (sec^2theta -1),dtheta = integral sec^2theta,dtheta ;-;integral 1,dtheta = tantheta - theta + C

Passo 5

Retornando à variável :
e como temos .
Também é comum usar , logo
.
Substituindo em

Resposta

boxedintegral raizx^2-42x,dx = raizx^2-42 - arccos!l(2xr) + C

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