5.4H Determine um fator integrante para cada uma das edo’s abaixo e em seguida encontre a solução geral de cada uma delas:
(x^2+y^2+1) d x-(x y+y) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um fator integrante e em seguida a solução geral da equação
(x^2+y^2+1),dx ;-;(xy+y),dy ;=;0
O conteúdo aqui é EDO exata e fator integrante.

Passo 2

Identifique
M(x,y)=x^2+y^2+1, N(x,y)=-(xy+y)=-y(x+1)
Calcule
partial Mpartial y=2y, partial Npartial x=-y,
como 2yneq -y, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos mu=mu(x). Use
partial Mpartial y-partial Npartial xN =2y-(-y)-y(x+1) =-3x+1,
que depende só de x. Logo
mu'(x)mu(x)=-3x+1 Longrightarrow mu(x)=(x+1)^-3

Passo 4

Multiplique a equação original por mu(x). Obtém-se
M1(x,y)=x^2+y^2+1(x+1)^3, N1(x,y)=-y(x+1)^2
Verifique que agora
partial M1partial y =2y(x+1)^3, partial N1partial x =2y(x+1)^3,
ou seja, a forma é exata.

Passo 5

Buscamos psi(x,y) tal que psix=M1 e psiy=N1. Integre em x:
psi(x,y) =integral x^2+y^2+1(x+1)^3,dx =ln|x+1|+2x+1-2+y^22,(x+1)^2+h(y)

Passo 6

Imponha psiy=N1. Calculando
psiy =-y(x+1)^2+h'(y)
e comparando com N1=-y(x+1)^2, obtemos h'(y)=0. Assim h é constante.

Resposta

Um fator integrante é
mu(x)=(x+1)^-3
A solução geral implícita fica
ln|x+1|+2x+1-2+y^22,(x+1)^2=C,
onde C é a constante de integração.

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