Exercício 6. Seja um aberto limitado e seja uma função de classe .
(i) Mostre que , isto é, é localmente de Lipschitz em .
(ii) Se, adicionalmente, , então .
Este exercício motiva a caracterização vista em aula.
Passo 1
O enunciado diz que temos um aberto limitado e uma função de classe .
(i) Precisamos mostrar que é localmente Lipschitz em , isto é, para todo existe uma vizinhança onde vale
(ii) Se estende-se a , então queremos mostrar que existe um único L que funciona para todo par x,yinOmega, ou seja, f é globalmente Lipschitz.
Ferramentas: teorema do valor médio em várias variáveis (representação por integral ao longo do segmento) e argumentos de compacidade para controlar o gradiente.
Passo 2
Fixe x0inOmega. Como Omega é aberto, existe r>0 tal que a bola fechada
B(x0,r)subsetOmega
Como fin C^1(Omega), seu gradiente nabla f é contínuo em B(x0,r), que é compacto. Logo existe
L ;=;maxzinB(x0,r)l|nabla f(z)r|;<+infty
Esse L será a constante de Lipschitz local.
Passo 3
Para quaisquer x,yin B(x0,r), considere o caminho paramétrico gamma(t)=y+t(x-y), tin[0,1]. Pela fórmula de Newton–Leibniz em várias variáveis ou pelo teorema do valor médio vetorial, temos