Exercício 6. Seja Omega subseteq R^d um aberto limitado e seja f: Omega longrightarrow R uma função de classe C^1(Omega).
(i) Mostre que f in C loc ^0,1(Omega), isto é, f é localmente de Lipschitz em Omega.
(ii) Se, adicionalmente, f in C^1(barOmega), então f in C^0,1(Omega).
Este exercício motiva a caracterização u in W^1, infty(R^d) Long<=ftrightarrow u in C^0,1(R^d) vista em aula.

Passo 1

O enunciado diz que temos um aberto limitado OmegasubseteqR^d e uma função f:OmegatoR de classe C^1(Omega).
(i) Precisamos mostrar que f é localmente Lipschitz em Omega, isto é, para todo x0inOmega existe uma vizinhança onde vale
|f(x)-f(y)|<= L,|x-y|
(ii) Se f estende-se a C^1(overlineOmega), então queremos mostrar que existe um único L que funciona para todo par x,yinOmega, ou seja, f é globalmente Lipschitz.
Ferramentas: teorema do valor médio em várias variáveis (representação por integral ao longo do segmento) e argumentos de compacidade para controlar o gradiente.

Passo 2

Fixe x0inOmega. Como Omega é aberto, existe r>0 tal que a bola fechada
B(x0,r)subsetOmega
Como fin C^1(Omega), seu gradiente nabla f é contínuo em B(x0,r), que é compacto. Logo existe
L ;=;maxzinB(x0,r)l|nabla f(z)r|;<+infty
Esse L será a constante de Lipschitz local.

Passo 3

Para quaisquer x,yin B(x0,r), considere o caminho paramétrico gamma(t)=y+t(x-y), tin[0,1]. Pela fórmula de Newton–Leibniz em várias variáveis ou pelo teorema do valor médio vetorial, temos
f(x)-f(y) =integral0^1!ddtl[f(gamma(t))r],dt =integral0^1nabla fl(y+t(x-y)r)cdot(x-y),dt
Tomando valor absoluto e usando que l|nabla f(gamma(t))r|<= L e l|x-yr| é constante no integrando, vem
|f(x)-f(y)|<=integral0^1L,|x-y|,dt = L,|x-y|
Isso mostra que f é Lipschitz em B(x0,r), isto é, fin C^0,1loc(Omega).

Passo 4

Agora suponha fin C^1(overlineOmega). A continuidade de nabla f em overlineOmega (compacto) garante que existe
M ;=;maxzinoverlineOmegal|nabla f(z)r|;<+infty
Repetindo o argumento do Passo 3 para quaisquer x,yinOmega, obtemos
|f(x)-f(y)|<= M,|x-y|,
portanto f é globalmente Lipschitz em Omega, ou seja, fin C^0,1(Omega).

Resposta

(i) fin C^0,1loc(Omega).
(ii) Se fin C^1(overlineOmega), então fin C^0,1(Omega).

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