Determine:
integral x sen(2 x+1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral x,sen(2x+1),dx.
O conteúdo envolve técnicas de integração, mais especificamente integração por partes, pois temos um produto de duas funções de x. Para isso, usaremos a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Escolhemos
u = x, dv = sen(2x+1),dx
Então
du = dx,
e precisamos encontrar
v = integral sen(2x+1),dx
Fazendo a substituição interna t = 2x+1, dt = 2,dx, obtemos
v = -12cos(2x+1)

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x,sen(2x+1),dx = u,v ;-;integral v,du = xl(-tfrac12cos(2x+1)r) - integral l(-tfrac12cos(2x+1)r),dx
Isto dá
-xcos(2x+1)2 ;+;12,integral cos(2x+1),dx

Passo 4

Para integral cos(2x+1),dx usamos novamente t=2x+1, dt=2,dx, resultando em
integral cos(2x+1),dx = 12sen(2x+1)
Logo,
12integral cos(2x+1),dx = 12cdot12sen(2x+1) = sen(2x+1)4

Passo 5

Juntando tudo, a antiderivada fica
integral x,sen(2x+1),dx = -xcos(2x+1)2 + sen(2x+1)4 + C

Resposta

-xcos(2x+1)2 +sen(2x+1)4 + C

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