5.4H Determine um fator integrante para cada uma das edo’s abaixo e em seguida encontre a solução geral de cada uma delas:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede um fator integrante e a solução geral. Este é um caso clássico de equação não exata onde buscamos um fator integrante
que dependa só de
ou só de
.
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Testamos se existe
tal que ao multiplicar temos exatidão. Para isso verificamos
que depende só de
. Logo existe um
função de
.
Passo 4
Passo 5
Multiplicamos toda a equação por
. Obtemos
que agora é exata, pois
e
.
Procuramos tal que
. Integramos
Procuramos
Então
Resposta
A solução implícita geral é
e o fator integrante encontrado foi
.