5.4H Determine um fator integrante para cada uma das edo’s abaixo e em seguida encontre a solução geral de cada uma delas:
(2 x y^2+xy^2) d x+4 x^2 y d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
l(2x y^2 + tfracxy^2r),dx + 4x^2y,dy = 0
e pede um fator integrante e a solução geral. Este é um caso clássico de equação não exata onde buscamos um fator integrante mu que dependa só de x ou só de y.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=2x y^2 + x y^-2, N(x,y)=4x^2y
Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y =4x y -2x y^-3, partial Npartial x =8x y
Como partial M/partial yneq partial N/partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Testamos se existe mu(y) tal que ao multiplicar temos exatidão. Para isso verificamos
Nx - MyM =8xy - (4xy -2xy^-3)2xy^2 + xy^-2 =4xy +2xy^-3x(2y^2+y^-2) =2y,
que depende só de y. Logo existe um mu função de y.

Passo 4

mu(y) satisfaz
dlnmudy=2y Longrightarrow lnmu=2ln y Longrightarrow mu(y)=y^2

Passo 5

Multiplicamos toda a equação por y^2. Obtemos
M^*(x,y)=y^2M=2x y^4 + x, N^*(x,y)=y^2N=4x^2y^3,
que agora é exata, pois
partial M^*/partial y=8xy^3 e partial N^*/partial x=8xy^3.
Procuramos Phi(x,y) tal que Phix=M^*. Integramos
Phi(x,y)=integral(2xy^4 + x),dx =x^2y^4 + tfracx^22 + h(y)
Então
Phiy =4x^2y^3 + h'(y) overset!=N^* =4x^2y^3 Longrightarrow h'(y)=0 Longrightarrow h(y)=const

Resposta

A solução implícita geral é
Phi(x,y) =x^2y^4 + tfracx^22 =C Long<=ftrightarrow x^2l(2y^4+1r)=C',
e o fator integrante encontrado foi mu(y)=y^2.

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