Determine:
integral0^1 2 e^2 x+1e^2 x+x d x

Passo 1

Resumindo, queremos calcular
integral0^1 2 e^2 x + 1e^2 x + x,dx
O conteúdo é integração de funções do tipo f'(x)f(x), que nos leva a logaritmos.

Passo 2

Definimos
f(x) = e^2x + x
Calculamos a derivada:
f'(x) = 2e^2x + 1

Passo 3

Observamos que o numerador da integral coincide com f'(x), ou seja,
2e^2x + 1e^2x + x = f'(x)f(x)

Passo 4

Sendo assim,
integral0^1 f'(x)f(x),dx = l[lnlvert f(x)rvertr]0^1 = l[lnlvert e^2x+xrvertr]0^1

Passo 5

Avaliamo nos limites:
lnl(e^2cdot1+1r) - lnl(e^0+0r) = lnl(e^2+1r) - ln(1) = lnl(e^2+1r)

Resposta

ln(e^2 + 1)

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