Seja h a função definida por h(x)=x|x-1|.
(a) Verifique se h é diferenciável em x0=1;
(b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de h no ponto (2,2).

Passo 1

O enunciado define a função
h(x)=x,lvert x-1rvert
e pede:
– (a) verificar se h é diferenciável em x0=1;
– (b) achar a reta tangente em (2,2).
Para isso, vamos escrever h em forma piecewise, calcular as derivadas em cada ramo, comparar as derivadas laterais em x=1 e, em seguida, usar o valor de h'(2) para a reta tangente.

Passo 2

Para montar o piecewise, notamos que
Logo
Derivando em cada intervalo:
– Se ,
– Se ,

Passo 3

Em x0=1 calculamos as derivadas laterais:
– derivada à esquerda:
limxto1^-h'(x)=limxto1^-(1-2x)=1-2cdot1=-1;
– derivada à direita:
limxto1^+h'(x)=limxto1^+(2x-1)=2cdot1-1=1
Como -1neq1, as derivadas laterais não coincidem, logo h não é diferenciável em x0=1.

Passo 4

Para a reta tangente em (2,2) usamos o ramo x>1, onde h'(x)=2x-1. Então
h'(2)=2cdot2-1=3
A reta tangente em (2,2) vem da forma ponto-inclinação:
y-2=3,(x-2)
Isolando y:
y=3x-6+2=3x-4

Resposta

(a) h não é diferenciável em x0=1.
(b) A reta tangente no ponto (2,2) é
y=3x-4

Exercícios relacionados