Seja
a função definida por
.
(a) Verifique se
é diferenciável em
;
(b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
(a) Verifique se
(b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
Passo 1
O enunciado define a função
e pede:
– (a) verificar se é diferenciável em
;
– (b) achar a reta tangente em .
Para isso, vamos escrever em forma piecewise, calcular as derivadas em cada ramo, comparar as derivadas laterais em
e, em seguida, usar o valor de
para a reta tangente.
– (a) verificar se
– (b) achar a reta tangente em
Para isso, vamos escrever
Passo 2
Para montar o piecewise, notamos que
Logo
Derivando em cada intervalo:
– Se ,
– Se
– Se
,
Passo 3
Em
calculamos as derivadas laterais:
– derivada à esquerda:
– derivada à esquerda:
– derivada à direita:
Como
, as derivadas laterais não coincidem, logo
não é diferenciável em
.
Passo 4
Para a reta tangente em
usamos o ramo
, onde
. Então
A reta tangente em
vem da forma ponto-inclinação:
Isolando
:
Resposta
(a)
não é diferenciável em
.
(b) A reta tangente no ponto é
(b) A reta tangente no ponto