5.4H Determine um fator integrante para cada uma das edo’s abaixo e em seguida encontre a solução geral de cada uma delas:
(x^2+y^2+y) d x-x d y=0

Passo 1

O enunciado fornece a EDO
(x^2+y^2+y),dx - x,dy=0,
que é da forma M(x,y),dx+N(x,y),dy=0. Queremos encontrar um fator integrante mu(x,y) que torne essa equação exata e depois achar a solução geral via função potencial.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=x^2+y^2+y, N(x,y)=-x
Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y=2y+1, partial Npartial x=-1,
e como 2y+1neq -1 a equação não é exata. Tentativas de mu=mu(x) ou mu=mu(y) falham, pois os cocientes l(partial M/partial y-partial N/partial xr)/N e l(partial N/partial x-partial M/partial yr)/M não dependem de uma só variável. Observamos então que o fator
mu(x,y)=1x^2+y^2
pode funcionar.

Passo 3

Multiplicando a EDO por mu, obtemos
M1= x^2+y^2+y,x^2+y^2 = 1 + yx^2+y^2, N1= -x,x^2+y^2
Verificamos a exatidão:
partial M1partial y =(x^2+y^2)-ycdot2y(x^2+y^2)^2 =x^2-y^2(x^2+y^2)^2, partial N1partial x =(x^2+y^2)-xcdot2x(x^2+y^2)^2 =x^2-y^2(x^2+y^2)^2
De fato partial M1/partial y=partial N1/partial x, logo a equação é exata.

Passo 4

Procuramos a função potencial psi(x,y) tal que
partial psipartial x=M1=1+yx^2+y^2
Integramos em x, tratando y como constante:
psi(x,y) =integral!1,dx+;yintegraldxx^2+y^2 = x+;ycdot1yarctan!l(xyr)+h(y) = x+arctan!l(tfracxyr)+h(y)
Agora impomos
partial psipartial y =-xx^2+y^2+h'(y) ;stackrel!=; N1=-xx^2+y^2,
o que leva a h'(y)=0. Portanto h(y) é constante.

Passo 5

A solução implícita geral é
psi(x,y)=x+arctan!l(tfracxyr)=C,
com C constante arbitrária.

Resposta

x + arctan!l(xyr)=C

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