5.4H Determine um fator integrante para cada uma das edo’s abaixo e em seguida encontre a solução geral de cada uma delas:
Passo 1
O enunciado fornece a EDO
que é da forma
. Queremos encontrar um fator integrante
que torne essa equação exata e depois achar a solução geral via função potencial.
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais
e como
a equação não é exata. Tentativas de
ou
falham, pois os cocientes
e
não dependem de uma só variável. Observamos então que o fator
pode funcionar.
Passo 3
Multiplicando a EDO por
, obtemos
Verificamos a exatidão:
De fato
, logo a equação é exata.
Passo 4
Procuramos a função potencial
tal que
Integramos em
, tratando
como constante:
Agora impomos
o que leva a
. Portanto
é constante.
Passo 5
A solução implícita geral é
com
constante arbitrária.