Determine:
integrala^b g^prime(x)g(x) d x, sabendo que g não se anula em [a, b].

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
integrala^bg'(x)g(x),dx
sabendo que g(x)neq0 em [a,b]. O conteúdo é reconhecer que a derivada do logaritmo natural de uma função é o quociente entre sua derivada e ela própria.

Passo 2

Como g(x)neq0, vale a fórmula
ddxlnlvert g(x)rvert = g'(x)g(x)
Logo, uma primitiva de tfracg'(x)g(x) é
F(x)=lnlvert g(x)rvert + C

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos
integrala^bg'(x)g(x),dx = F(b)-F(a) = lnlvert g(b)rvert - lnlvert g(a)rvert

Resposta

lnlvert g(b)rvert - lnlvert g(a)rvert

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