(a) Ao aproximar J_{0}(x), 0 \leq x \leq 1, pelo polinômio 1-\frac{x^{2}}{4}+\frac{x^{4}}{64}-\frac{x^{6}}{2304}, mostre que o erro cometido é inferior a 10^{-5}.
(b) Mostre que J_{0}^{\prime}=-J_{1} e \int_{0}^{x} t^{3} J_{2}(t) d t=x^{3} J_{3}(x).
(c) Esboce os gráficos das somas parciais S_{3}(x) de J_{0}(x) e de J_{1}(x), no intervalo 0 \leq x \leq 2.
Passo 1
O enunciado trata da função de Bessel de 1ª espécie de ordem k, dada pela série
Em (a) precisamos estimar o erro ao truncar essa série em n=3 para k=0 e 0\le x\le1; em (b) mostrar duas identidades envolvendo derivada e integral de J_{k}; em (c) esboçar as somas parciais até n=3 de J_{0} e J_{1} em 0\le x\le2.
Note que \displaystyle x^{3}J_{3}(x)
=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n}}{n!\,(n+3)!}\frac{x^{2n+6}}{2^{2n+3}}
e, usando (n+3)!=(n+2)!\,(n+3), vê-se que essa série coincide termo a termo com a integral acima. Logo
Em 0\le x\le2, S_{3}^{(0)} é um polinômio decrescente de 1 para perto de zero (antes da raiz real de ordem 1 em \approx2{,}4), e S_{3}^{(1)} começa em 0, cresce quase linear até “achatar” um pouco. Esboce-os como curvas suaves positivas em 0\le x\le2, onde S_{3}^{(0)} cai de 1 para \approx0{,}35 e S_{3}^{(1)} sobe quase linear de 0 a \approx0{,}6.
Resposta
(a) \displaystyle\bigl|J_{0}(x)-(1-\tfrac{x^{2}}{4}+\tfrac{x^{4}}{64}-\tfrac{x^{6}}{2304})\bigr|<10^{-5}.
(b) \displaystyle J_{0}'(x)=-J_{1}(x) e \displaystyle \int_{0}^{x}t^{3}J_{2}(t)\,dt=x^{3}J_{3}(x).
(c)