3.4J Dado um número inteiro positivo k, considere a k-ésima função de Bessel de 1 \underline{a} espécie J_{k}(x), definida por:
J_{k}(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2 n+k}
(a) Ao aproximar J_{0}(x), 0 \leq x \leq 1, pelo polinômio 1-\frac{x^{2}}{4}+\frac{x^{4}}{64}-\frac{x^{6}}{2304}, mostre que o erro cometido é inferior a 10^{-5}.
(b) Mostre que J_{0}^{\prime}=-J_{1} e \int_{0}^{x} t^{3} J_{2}(t) d t=x^{3} J_{3}(x).
(c) Esboce os gráficos das somas parciais S_{3}(x) de J_{0}(x) e de J_{1}(x), no intervalo 0 \leq x \leq 2.

Passo 1

O enunciado trata da função de Bessel de 1ª espécie de ordem k, dada pela série
J_{k}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!\,(n+k)!}\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^{2n+k}.
Em (a) precisamos estimar o erro ao truncar essa série em n=3 para k=0 e 0\le x\le1; em (b) mostrar duas identidades envolvendo derivada e integral de J_{k}; em (c) esboçar as somas parciais até n=3 de J_{0} e J_{1} em 0\le x\le2.

Passo 2

(a) Para k=0, o polinômio de Taylor até n=3 é
P_{3}(x)=\sum_{n=0}^{3}\frac{(-1)^{n}}{(n!)^{2}}\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^{2n} =1-\frac{x^{2}}{4}+\frac{x^{4}}{64}-\frac{x^{6}}{2304}.
O resto R_{3}(x)=J_{0}(x)-P_{3}(x) corresponde à soma dos termos de n\ge4:
\bigl|R_{3}(x)\bigr|\le\sum_{n=4}^{\infty}\frac{1}{(n!)^{2}}\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^{2n}.
Para 0\le x\le1, o primeiro termo dessa soma (em n=4) vale
a_{4}=\frac{1}{(4!)^{2}}\Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^{8} =\frac{1}{576}\cdot\frac{1}{256} \approx6{,}78\times10^{-6}.
O quociente entre termos sucessivos é
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{1}{(n+1)^{2}}\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^{2} \le\frac{1}{25},
logo a soma dos termos n\ge4 é majorada por
a_{4}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{25^{m}} =\frac{a_{4}}{1-\tfrac1{25}} <\frac{6{,}78\times10^{-6}}{1-\tfrac1{25}} \approx7{,}14\times10^{-6}<10^{-5}.
Assim, \bigl|J_{0}(x)-P_{3}(x)\bigr|<10^{-5} em [0,1].

Passo 3

( b_{1}) Derivando série a termo a termo para k=0:
J_{0}(x)=\sum_{n=0}^\infty a_{n}x^{2n},\quad a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{(n!)^{2}2^{2n}},
J_{0}'(x)=\sum_{n=1}^\infty 2n\,a_{n}\,x^{2n-1} =\sum_{m=0}^\infty\frac{(-1)^{m+1}}{m!\,(m+1)!}\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^{2m+1} =-J_{1}(x).

Passo 4

( b_{2}) Para mostrar \displaystyle \int_{0}^{x}t^{3}J_{2}(t)\,dt=x^{3}J_{3}(x),
use a série
J_{2}(t)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!\,(n+2)!}\Bigl(\frac{t}{2}\Bigr)^{2n+2}.
Então
\int_{0}^{x}t^{3}J_{2}(t)\,dt =\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n}}{n!\,(n+2)!}\int_{0}^{x}t^{2n+5}\frac{dt}{2^{2n+2}} =\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n}}{n!\,(n+2)!}\frac{x^{2n+6}}{(2n+6)\,2^{2n+2}}.
Note que \displaystyle x^{3}J_{3}(x) =\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n}}{n!\,(n+3)!}\frac{x^{2n+6}}{2^{2n+3}}
e, usando (n+3)!=(n+2)!\,(n+3), vê-se que essa série coincide termo a termo com a integral acima. Logo
\int_{0}^{x}t^{3}J_{2}(t)\,dt = x^{3}J_{3}(x).

Passo 5

(c) A soma parcial até n=3 para J_{0} já é
S_{3}^{(0)}(x)=1-\frac{x^{2}}{4}+\frac{x^{4}}{64}-\frac{x^{6}}{2304}.
Para J_{1} temos
S_{3}^{(1)}(x) =\sum_{n=0}^{3}\frac{(-1)^{n}}{n!\,(n+1)!}\Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^{2n+1} =\frac{x}{2}-\frac{x^{3}}{16}+\frac{x^{5}}{384}-\frac{x^{7}}{18432}.
Em 0\le x\le2, S_{3}^{(0)} é um polinômio decrescente de 1 para perto de zero (antes da raiz real de ordem 1 em \approx2{,}4), e S_{3}^{(1)} começa em 0, cresce quase linear até “achatar” um pouco. Esboce-os como curvas suaves positivas em 0\le x\le2, onde S_{3}^{(0)} cai de 1 para \approx0{,}35 e S_{3}^{(1)} sobe quase linear de 0 a \approx0{,}6.

Resposta

(a) \displaystyle\bigl|J_{0}(x)-(1-\tfrac{x^{2}}{4}+\tfrac{x^{4}}{64}-\tfrac{x^{6}}{2304})\bigr|<10^{-5}.
(b) \displaystyle J_{0}'(x)=-J_{1}(x) e \displaystyle \int_{0}^{x}t^{3}J_{2}(t)\,dt=x^{3}J_{3}(x).
(c)
S_{3}^{(0)}(x)=1-\frac{x^{2}}{4}+\frac{x^{4}}{64}-\frac{x^{6}}{2304}, \quad S_{3}^{(1)}(x)=\frac{x}{2}-\frac{x^{3}}{16}+\frac{x^{5}}{384}-\frac{x^{7}}{18432},
esboçadas em 0\le x\le2 como descrito.

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