3.6D Em cada caso encontre a expansão de Taylor da função f em torno do ponto indicado.
f(x)=\sqrt[3]{x} ; a=1

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Taylor de
f(x)=\sqrt[3]{x}=x^{1/3}
em torno de a=1.
Conteúdo: desenvolvimento em série de potências (será a fórmula de Taylor ou, de modo mais direto, a série binomial generalizada aplicada a x=1+h).

Passo 2

Definimos h = x-1, de modo que
f(x) = (1+h)^{1/3}.
A série binomial generalizada diz que, para qualquer \alpha,
(1+h)^\alpha = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n}\,h^n,
onde
\binom{\alpha}{n} = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}.
Aqui tomamos \alpha = \tfrac13.

Passo 3

Aplicando com \alpha=\tfrac13 e h=x-1, obtemos
x^{1/3}=(1+h)^{1/3} =\sum_{n=0}^{\infty} \binom{\tfrac13}{n}\,(x-1)^n.
Aqui
\binom{\tfrac13}{n} =\frac{\tfrac13\bigl(\tfrac13-1\bigr)\bigl(\tfrac13-2\bigr)\cdots\bigl(\tfrac13-n+1\bigr)}{n!}.

Passo 4

Para ver os primeiros termos, calculamos alguns coeficientes:
\binom{\tfrac13}{0}=1,\qquad \binom{\tfrac13}{1}=\tfrac13,\qquad \binom{\tfrac13}{2} =\frac{\tfrac13\bigl(-\tfrac23\bigr)}{2!}=-\frac{1}{18},
\binom{\tfrac13}{3} =\frac{\tfrac13\bigl(-\tfrac23\bigr)\bigl(-\tfrac53\bigr)}{3!} =\frac{5}{81},\quad\text{etc.}
Logo a expansão em torno de x=1 é
\sqrt[3]{x} =1+\frac{1}{3}(x-1)-\frac{1}{18}(x-1)^{2}+\frac{5}{81}(x-1)^{3}+\cdots.

Resposta

\boxed{ \sqrt[3]{x} =\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\tfrac13}{n}\,(x-1)^n =1+\frac{1}{3}(x-1)-\frac{1}{18}(x-1)^{2}+\frac{5}{81}(x-1)^{3}+\cdots. }

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