\checkmark 3.4H Encontre uma expansão em série de potências de x para x^{2} e^{-x} e, derivando o resultado, prove que \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(n+2) 2^{n+1}}{n!}=8.

Passo 1

O enunciado pede para obter a expansão em série de potências de x^2e^{-x} (isto é, a série de Maclaurin) e, a seguir, diferenciá-la termo a termo para chegar à soma
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n(n+2)\,2^{n+1}}{n!} \;=\;8.
Os conteúdos principais são a expansão de e^{-x}, a multiplicação por x^2, a diferenciação termo a termo de séries de potências e avaliação em x=2.

Passo 2

Sabemos que a série de Maclaurin de e^{-x} é
e^{-x} \;=\;\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\,x^n.
Multiplicando por x^2, obtemos
x^2e^{-x} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\,x^{n+2} =\sum_{m=2}^{\infty}\frac{(-1)^{\,m-2}}{(m-2)!}\,x^{m} =\sum_{m=2}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{(m-2)!}\,x^{m}.

Passo 3

Para facilitar o índice, chamemos m=n. Assim
x^2e^{-x} =\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{x^{n}}{(n-2)!}.

Passo 4

Diferenciando termo a termo,
\bigl(x^2e^{-x}\bigr)' =\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{n\,x^{n-1}}{(n-2)!}.
Por outro lado, usando derivada de x^2e^{-x} na forma fechada,
\bigl(x^2e^{-x}\bigr)'=(2x - x^2)e^{-x}.

Passo 5

Dividindo ambos os lados por x, temos
\frac{\bigl(x^2e^{-x}\bigr)'}{x} =(2 - x)e^{-x} \;=\; \sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{n\,x^{n-2}}{(n-2)!}.
Reindexando k=n-2, ou seja n=k+2, vê-se que
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{n\,x^{n-2}}{(n-2)!} =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\,\frac{(k+2)\,x^k}{k!}.
Portanto
\frac{(x^2e^{-x})'}{x} =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\,\frac{(k+2)\,x^k}{k!}.

Passo 6

Agora avalie em x=2. No lado fechado,
\frac{(x^2e^{-x})'}{x}\Big|_{x=2} =(2-2)e^{-2}=0.
No lado da série,
0 =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\,\frac{(k+2)\,2^k}{k!} =\underbrace{(-1)^0\frac{2\cdot2^0}{0!}}_{=2} +\underbrace{(-1)^1\frac{3\cdot2^1}{1!}}_{=-6} +\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^{k}\frac{(k+2)\,2^k}{k!}.
Logo
2-6+\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^{k}\frac{(k+2)\,2^k}{k!} =0 \quad\Longrightarrow\quad \sum_{k=2}^{\infty}(-1)^{k}\frac{(k+2)\,2^k}{k!} =4.

Passo 7

Basta agora multiplicar ambos os termos por 2 para chegar exatamente à soma pedida:
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n(n+2)\,2^{n+1}}{n!} =2\cdot4 =8.

Resposta

\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n(n+2)\,2^{n+1}}{n!}=8.

Exercícios relacionados