5.4K Cada edo dada abaixo tem coeficientes homogêneos. Encontre a solução geral em cada caso:
(x^3+2 x y^2) d x+(y^3+2 x^2 y) d y=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
com
M(x,y) = x^3 + 2,x,y^2, N(x,y) = y^3 + 2,x^2,y
Perceba que M e N são homogêneos de grau 3 e que podemos tentar resolver reconhecendo-a como uma equação exata, isto é, verificar se
partial Mpartial y = partial Npartial x

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partialpartial yl(x^3 + 2,x,y^2r) = 4,x,y,
partial Npartial x = partialpartial xl(y^3 + 2,x^2,yr) = 4,x,y
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Como é exata, existe uma função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x = M(x,y), partial phipartial y = N(x,y)
Integramos M em relação a x:
phi(x,y) = integral l(x^3 + 2,x,y^2r),dx = x^44 + x^2,y^2 + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 4

Para determinar h(y), usamos
partial phipartial y = 2,x^2,y + h'(y) stackrel!= N(x,y) = y^3 + 2,x^2,y
Daí
h'(y) = y^3 Longrightarrow h(y) = y^44 + C
Logo a função potencial completa é
phi(x,y) = x^44 + x^2,y^2 + y^44
A solução geral vem de phi(x,y)=constante.

Resposta

x^44 + x^2,y^2 + y^44 = C,
ou, equivalentemente,
x^4 + 4,x^2,y^2 + y^4 = C'

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