5.4K Cada edo dada abaixo tem coeficientes homogêneos. Encontre a solução geral em cada caso:
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
com
Perceba que
e
são homogêneos de grau 3 e que podemos tentar resolver reconhecendo-a como uma equação exata, isto é, verificar se
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Como é exata, existe uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Passo 4
Para determinar
, usamos
Daí
Logo a função potencial completa é
A solução geral vem de
.
Resposta
ou, equivalentemente,