Exercício 2. Suponhamos que f in C^1(E ; R^n), onde E subseteq R^m é aberto, é tal que a sua restrição f|K: K longrightarrow R^n é um mergulho, para algum compacto convexo K subset E. Prove que existe de<a>0 tal que
g in C^1(E ; R^n),|f-g|C^1(K)<de<a Longrightarrow g|K mergulho

Passo 1

O enunciado diz que fin C^1(E;R^n) e que a restrição f|K é um mergulho, isto é, para todo xin K o diferencial
Df(x)colon R^mtoR^n
é injetor (ou seja, tem posto máximo m). Queremos mostrar que existe de<a>0 tal que qualquer gin C^1(E;R^n) com
|f-g|C^1(K)<de<a
também satisfaz que g|K é mergulho. Vamos usar que em K, por compacidade e continuidade, o menor valor da norma de Df(x) em vetores unitários é estritamente positivo.

Passo 2

Definimos a função
hcolon Klongrightarrow R, h(x)=inf|v|=1|Df(x),v|
Como fin C^1, xmapsto Df(x) é contínua e a função Amapstoinf|v|=1|A,v| é contínua em A. Logo h é contínua em K. Como f|K é mergulho, Df(x) é injetor para todo x, o que implica inf|v|=1|Df(x),v|>0. Pela compacidade de K, h atinge mínimo
mu=minxin Kh(x)>0

Passo 3

Escolhemos
de<a=mu2>0
Sejam gin C^1(E;R^n) satisfazendo |f-g|C^1(K)<de<a. Por definição de norma C^1,
supxin K|Df(x)-Dg(x)|<de<a

Passo 4

Fixamos xin K e um vetor unitário vinR^m. Então
|Dg(x),v| ;>=; |Df(x),v|-|(Dg(x)-Df(x)),v| ;>=;h(x)-|Dg(x)-Df(x)| ;>=;mu-de<a ;=;mu2>0
Logo inf|v|=1|Dg(x),v|>=mu/2>0, o que implica que Dg(x) é injetor. Como x era arbitrário em K, segue que g|K é mergulho.

Resposta

Escolhendo de<a=12minxin Kl[inf|v|=1|Df(x)v|r], qualquer g com |f-g|C^1(K)<de<a satisfaz que g|K é mergulho.

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