Exercício 2. Suponhamos que
, onde
é aberto, é tal que a sua restrição
é um mergulho, para algum compacto convexo
. Prove que existe
tal que
Passo 1
O enunciado diz que
e que a restrição
é um mergulho, isto é, para todo
o diferencial
é injetor (ou seja, tem posto máximo
). Queremos mostrar que existe
tal que qualquer
com
também satisfaz que
é mergulho. Vamos usar que em
, por compacidade e continuidade, o menor valor da norma de
em vetores unitários é estritamente positivo.
Passo 2
Definimos a função
Como
,
é contínua e a função
é contínua em
. Logo
é contínua em
. Como
é mergulho,
é injetor para todo
, o que implica
. Pela compacidade de
,
atinge mínimo
Passo 3
Escolhemos
Sejam
satisfazendo
. Por definição de norma
,
Passo 4
Fixamos
e um vetor unitário
. Então
Logo
, o que implica que
é injetor. Como
era arbitrário em
, segue que
é mergulho.
Resposta
Escolhendo
, qualquer
com
satisfaz que
é mergulho.