Exercício 8. (Apostol seção 1.13 exercícios 3., 4., 5., 6.) Seja V um espaço vetorial com produto interno 〈.,.〉: V times V R e ||: V [0, infty[ a norma que vem deste produto interno. Mostre que as seguintes afirmações são válidas:
lang<= u, vrang<==0 se, e somente se, |u+v|=|u-v|.

Passo 1

O enunciado está em um espaço vetorial V com produto interno lang<=cdot,cdotrang<= e norma induzida |x|=raizlang<= x,xrang<=. Precisamos provar a equivalência
lang<= u,vrang<==0 Long<=ftrightarrow |u+v|=|u-v|
Para isso, vamos usar a propriedade fundamental da norma oriunda de produto interno, que é
|x|^2=lang<= x,xrang<=,
e a bilinearidade (e simetria) de lang<=cdot,cdotrang<=.

Passo 2

Suponha primeiro que lang<= u,vrang<==0. Então, usando
|x|^2=lang<= x,xrang<= e a bilinearidade, temos
|u+v|^2 =lang<= u+v,;u+vrang<= =lang<= u,urang<= + 2lang<= u,vrang<= + lang<= v,vrang<= =|u|^2 + 0 + |v|^2
e
|u-v|^2 =lang<= u-v,;u-vrang<= =lang<= u,urang<= - 2lang<= u,vrang<= + lang<= v,vrang<= =|u|^2 - 0 + |v|^2
Como os quadrados das normas coincidem, conclui-se
|u+v|^2 = |u-v|^2 Longrightarrow |u+v| = |u-v|

Passo 3

Agora suponha que |u+v|=|u-v|. Então
|u+v|^2 = |u-v|^2
Expandindo cada lado como antes, obtemos
|u|^2 + 2lang<= u,vrang<= + |v|^2 ;=; |u|^2 - 2lang<= u,vrang<= + |v|^2
e, ao simplificar |u|^2+|v|^2 dos dois lados, sobra
2lang<= u,vrang<= = -,2lang<= u,vrang<= Longrightarrow 4lang<= u,vrang<= = 0 Longrightarrow lang<= u,vrang<==0

Resposta

Ficou demonstrado que lang<= u,vrang<==0 se, e somente se, |u+v|=|u-v|.

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