Exercício 8. (Apostol seção 1.13 exercícios 3., 4., 5., 6.) Seja
um espaço vetorial com produto interno 〈.,.〉:
e
a norma que vem deste produto interno. Mostre que as seguintes afirmações são válidas:
se, e somente se,
.
Passo 1
O enunciado está em um espaço vetorial
com produto interno
e norma induzida
. Precisamos provar a equivalência
Para isso, vamos usar a propriedade fundamental da norma oriunda de produto interno, que é
e a bilinearidade (e simetria) de
.
Passo 2
Suponha primeiro que
. Então, usando
e a bilinearidade, temos
e
Como os quadrados das normas coincidem, conclui-se
Passo 3
Agora suponha que
. Então
Expandindo cada lado como antes, obtemos
e, ao simplificar
dos dois lados, sobra
Resposta
Ficou demonstrado que
se, e somente se,
.