3.4K Mostre que ln x=ln 2+sumn=1^infty (-1)^n+1(x-2)^nn 2^n, 0<x<4.

Passo 1

O enunciado pede para obter a expansão em série de potências de ln x em torno de x=2, mostrando que
ln x = ln 2 + sumn=1^infty (-1)^n+1(x-2)^nn,2^n, 0<x<4
O conteúdo usado será a série de Taylor de ln(1+u) no ponto u=0 e a identificação de u em função de x.

Passo 2

Escrevemos
ln x = ln 2 + lnl(x/2r),
pois ln x = ln2 + ln(x/2). Assim resta expandir ln(x/2) como série de potências.

Passo 3

Definimos
u = x2-1 = x-22,
de modo que
lnl(x/2r) = lnl(1+ur)

Passo 4

Recordamos a série de Taylor de ln(1+u) para |u|<1:
ln(1+u)=sumn=1^infty(-1)^n+1n,u^n

Passo 5

Substituindo u=(x-2)/2 na série acima, obtemos
lnl(x/2r) =sumn=1^infty(-1)^n+1nl(x-22r)^n =sumn=1^infty(-1)^n+1(x-2)^nn,2^n
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ln x = ln 2 + sumn=1^infty(-1)^n+1(x-2)^nn,2^n

Passo 6

A condição |u|<1 equivale a
l|x-22r|<1 Long<=ftrightarrow |x-2|<2 Long<=ftrightarrow 0<x<4,
que é exatamente o intervalo dado no enunciado.

Resposta

boxedln x = ln 2 + sumn=1^infty (-1)^n+1(x-2)^nn,2^n, 0<x<4

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