Exercício 5 (D.2.3.1)
Verifique as seguintes relações:
(Observação: Estas são as relações análogas a
integral-pi^pi e^i(n-m) x d x=2 pi de<am n, provadas em sala de aula)
integral-pi^pi cos (n x) sen(n x) d x=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a relação
integral-pi^picos(nx),sin(nx),dx=0.
O conteúdo aqui é integral de funções trigonométricas, e vamos usar a identidade produto-para-soma e a paridade da função resultante.

Passo 2

Usamos a identidade produto-para-soma para trigonometria:
cos(nx),sin(nx) =tfrac12l[sin(nx+nx)-sin(nx-nx)r] =tfrac12sin(2nx)

Passo 3

Substituindo na integral, fica
integral-pi^picos(nx),sin(nx),dx =tfrac12integral-pi^pisin(2nx),dx

Passo 4

A função sin(2nx) é ímpar, ou seja, sin(2n(-x))=-sin(2nx).
Em um intervalo simétrico [-pi,pi], a integral de uma função ímpar é zero:
integral-pi^pisin(2nx),dx=0
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integral-pi^picos(nx),sin(nx),dx =tfrac12cdot0 =0

Resposta

integral-pi^picos(nx),sin(nx),dx=0.

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