5.4L Encontre a edo de primeira ordem com a seguinte família de curvas integrais:
y^2=2 C x

Passo 1

O enunciado nos dá a família de curvas
y^2=2,C,x
onde C é constante arbitrária, e pede a equação diferencial de primeira ordem que tenha essa família como soluções gerais. Para isso, vamos eliminar C diferindo e substituindo.

Passo 2

Isolamos o parâmetro C em função de x e y. Da relação
y^2=2,C,x
segue
C=y^22,x,
pressupondo xneq0.

Passo 3

Derivamos implicitamente a família em relação a x. Partindo de
y^2=2,C,x,
tomamos derivada de ambos os lados:
2,y,y' = 2,C
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y,y' = C

Passo 4

Substituímos a expressão de C obtida no Passo 2 na relação do Passo 3:
y,y' = y^22,x
Assumindo yneq0, dividimos por y e obtemos
y' = y2,x

Passo 5

Escrevemos a equação diferencial na forma padrão. Multiplicando por 2x, chega-se a
2,x,y' - y = 0,
ou equivalentemente
y' - y2,x = 0

Resposta

A equação diferencial de primeira ordem cuja família de soluções é y^2=2Cx é
y' = y2,x

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