5.4L Encontre a edo de primeira ordem com a seguinte família de curvas integrais:
Passo 1
O enunciado nos dá a família de curvas
onde
é constante arbitrária, e pede a equação diferencial de primeira ordem que tenha essa família como soluções gerais. Para isso, vamos eliminar
diferindo e substituindo.
Passo 2
Isolamos o parâmetro
em função de
e
. Da relação
segue
pressupondo
.
Passo 3
Derivamos implicitamente a família em relação a
. Partindo de
tomamos derivada de ambos os lados:
logo
Passo 4
Substituímos a expressão de
obtida no Passo 2 na relação do Passo 3:
Assumindo
, dividimos por
e obtemos
Passo 5
Escrevemos a equação diferencial na forma padrão. Multiplicando por
, chega-se a
ou equivalentemente
Resposta
A equação diferencial de primeira ordem cuja família de soluções é
é