Exercício 9. Sejam U subset R^n um aberto conexo e f: U longrightarrow U uma função de classe C^k. Defina M=f(U). Mostre que, se f satisfaz f circ f=f, então f tem posto constante em uma vizinhança de M.
Além disso, como consequência, mostre que M é uma superficie de classe C^k.

Passo 1

O enunciado dá um aberto conexo UsubsetR^n e uma aplicação f:Uto U de classe C^k tal que
fcirc f = f
Definimos
M = f(U)
Queremos mostrar duas coisas:
  1. Em torno de M, a matriz jacobiana Df(x) tem posto constante.
  2. Como consequência, M é uma subvariedade de classe C^k de R^n.
Para isso usaremos o Teorema do Posto Constante, que garante que se uma aplicação C^k tem posto fixo r numa vizinhança, então localmente ela se escreve em coordenadas na forma
(x^1,dots,x^n);longmapsto;(x^1,dots,x^r,0,dots,0),
e sua imagem (ou conjunto de pontos fixos) fica dada por equações lineares do tipo x^r+1=cdots=x^n=0, definindo assim uma subvariedade de dimensão r.

Passo 2

Primeiro, se min M então existe uin U com f(u)=m. Como f(f(u))=f(u) segue f(m)=m, ou seja, todo ponto de M é ponto fixo de f.
Diferenciando fl(f(x)r)=f(x) no ponto x=m e usando f(m)=m, obtemos
Df(f(m));Df(m);=;Df(m) Longrightarrow l(Df(m)r)^2 = Df(m)
Isso mostra que Df(m) é um projetor linear em R^n. Como um projetor tem autovalores apenas 0 ou 1, o posto
rankl(Df(m)r)
é igual ao traço de Df(m). Além disso, M=f(U) sendo imagem contínua de um conjunto conexo U é conexo, e o traço de Df é função contínua em m. Logo o valor inteiro rankl(Df(m)r) não pode saltar em M, restando constante para todo min M. Denotemos esse valor por
r ;=;rankl(Df(m)r),
para qualquer min M.

Passo 3

Para estender a constância de posto a uma vizinhança de M, observe que para qualquer yin U vale ainda
Dfl(f(y)r);Df(y);=;Df(y)
Mas f(y)in M, onde rankl(Df(f(y))r)=r. A equação acima mostra que para todo vetor v em Im,Df(y) temos
v = Df(y)(u) ;Longrightarrow; v = Dfl(f(y)r)l(vr) ;Longrightarrow; vin Iml(Df(f(y))r)
Portanto
Iml(Df(y)r)subseteq Iml(Df(f(y))r) ;Longrightarrow; rankl(Df(y)r)<= rforall,yin U
Por outro lado, em cada min M há algum menor de ordem r de Df(m) não nulo, e pela continuidade desses menores segue que em certa vizinhança de m temos rank(Df)>= r.
Assim, para cada min M existe um entorno onde rank(Df)=r. A união desses entornos é uma vizinhança W de M em que f tem posto constante igual a r.

Passo 4

Aplicando o Teorema do Posto Constante a f em cada ponto de M, obtemos coordenadas locais (x^1,dots,x^n) centradas em m tais que
f(x^1,dots,x^n) ;=; l(x^1,dots,x^r,,0,dots,0r)

Passo 5

Nesse mesmo sistema de coordenadas, o conjunto de pontos fixos
Mcap(cartaz local) =xmid f(x)=x =(x^1,dots,x^n)mid (x^1,dots,x^r,0,dots,0)=(x^1,dots,x^n)
fica descrito pelas equações
x^r+1=x^r+2=cdots=x^n=0
Isso mostra que, localmente, M é dado por n-r equações lineares de classe C^k em R^n, ou seja, é uma subvariedade de dimensão r.

Resposta

  • A aplicação f tem posto constante igual a r = rankl(Df(m)r)(min M) em uma vizinhança de M.
  • Como consequência, M=f(U) é uma subvariedade (superfície) de classe C^k e dimensão r.

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