Exercício 9. Sejam
um aberto conexo e
uma função de classe
. Defina
. Mostre que, se
satisfaz
, então
tem posto constante em uma vizinhança de
.
Além disso, como consequência, mostre que
é uma superficie de classe
.
Passo 1
O enunciado dá um aberto conexo
e uma aplicação
de classe
tal que
Definimos
Queremos mostrar duas coisas:
- Em torno de
, a matriz jacobiana tem posto constante. - Como consequência,
é uma subvariedade de classe de .
Para isso usaremos o Teorema do Posto Constante, que garante que se uma aplicação
tem posto fixo
numa vizinhança, então localmente ela se escreve em coordenadas na forma
e sua imagem (ou conjunto de pontos fixos) fica dada por equações lineares do tipo
, definindo assim uma subvariedade de dimensão
.
Passo 2
Primeiro, se
então existe
com
. Como
segue
, ou seja, todo ponto de
é ponto fixo de
.
Diferenciando no ponto
e usando
, obtemos
Diferenciando
Isso mostra que
é um projetor linear em
. Como um projetor tem autovalores apenas
ou
, o posto
é igual ao traço de
. Além disso,
sendo imagem contínua de um conjunto conexo
é conexo, e o traço de
é função contínua em
. Logo o valor inteiro
não pode saltar em
, restando constante para todo
. Denotemos esse valor por
para qualquer
.
Passo 3
Para estender a constância de posto a uma vizinhança de
, observe que para qualquer
vale ainda
Mas
, onde
. A equação acima mostra que para todo vetor
em
temos
Portanto
Por outro lado, em cada
há algum menor de ordem
de
não nulo, e pela continuidade desses menores segue que em certa vizinhança de
temos
.
Assim, para cada existe um entorno onde
. A união desses entornos é uma vizinhança
de
em que
tem posto constante igual a
.
Assim, para cada
Passo 4
Aplicando o Teorema do Posto Constante a
em cada ponto de
, obtemos coordenadas locais
centradas em
tais que
Passo 5
Nesse mesmo sistema de coordenadas, o conjunto de pontos fixos
fica descrito pelas equações
Isso mostra que, localmente,
é dado por
equações lineares de classe
em
, ou seja, é uma subvariedade de dimensão
.
Resposta
- A aplicação
tem posto constante igual a em uma vizinhança de . - Como consequência,
é uma subvariedade (superfície) de classe e dimensão .