Encontre m e n, tais que as seguintes funções sejam contínuas em R :
h(x)=lraiz[3]x-1x-1, se x <= 1, 3 n^2, se x>1

Passo 1

O enunciado dá a função
h(x)= dfracraiz[3]x-1x-1,&x<=1,[6pt] 3n^2,&x>1
e pede para escolher n de modo que h seja contínua em R. O único ponto em que a continuidade pode falhar é x=1, pois em x<1 e em x>1 cada ramo é contínuo (racional de funções contínuas e constante, respectivamente).]

Passo 2

Vamos examinar o comportamento do ramo à esquerda em x=1. Para xneq1, use a fatoração de diferença de cubos
x-1=(raiz[3]x-1)l((raiz[3]x)^2+raiz[3]x+1r),
logo, para xneq1,
raiz[3]x-1x-1 =1(raiz[3]x)^2+raiz[3]x+1

Passo 3

O limite à esquerda em 1 é
limxto1^-raiz[3]x-1x-1 =limxto1^-1(raiz[3]x)^2+raiz[3]x+1 =11^2+1+1 =13
E, como o ramo para x<=1 se estende até x=1, temos
h(1)=13

Passo 4

Do lado direito, para x>1, h(x)=3n^2 é constante. Assim, o limite pela direita em 1 é
limxto1^+h(x)=3n^2

Passo 5

Impondo continuidade em x=1, igualamos os limites laterais e o valor em 1:
3n^2=13 Longrightarrow n^2=19 Longrightarrow n=pm13

Resposta

n=13ou n=-13

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