4.4M Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função contínua 2 L-periódica. Dado um número real a, mostre que:
\int_{a-L}^{a+L} f(x) d x=\int_{-L}^{L} f(x) d x

Passo 1

O enunciado diz que f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é contínua e 2L-periódica, ou seja, satisfaz
f(x+2L)=f(x)\quad\forall x\in\mathbb{R}.
Queremos mostrar que a integral de f em qualquer intervalo de comprimento 2L não depende do ponto inicial, ou seja, para todo a\in\mathbb{R},
\int_{a-L}^{a+L}f(x)\,dx=\int_{-L}^{L}f(x)\,dx.
Para isso, vamos usar o teorema de diferenciação sob o sinal de integral (regra de Leibniz) e a periodicidade de f.

Passo 2

Defina a função
I(a)=\int_{a-L}^{a+L}f(x)\,dx.
Como f é contínua, podemos derivar I(a) em relação a a usando a regra de Leibniz para limites dependentes de parâmetro. Temos
I'(a)=f\bigl(a+L\bigr)\,\frac{d}{da}(a+L)\;-\;f\bigl(a-L\bigr)\,\frac{d}{da}(a-L)
ou seja
I'(a)=f(a+L)-f(a-L).

Passo 3

Pela periodicidade de período 2L, vale
f(a+L)=f\bigl((a-L)+2L\bigr)=f(a-L).
Substituindo em I'(a) obtemos
I'(a)=f(a-L)-f(a-L)=0\quad\forall a.
Logo, I(a) é constante em a.

Passo 4

Como I(a) é constante, basta avaliar em a=0. Obtemos
I(a)=I(0) \quad\Longrightarrow\quad \int_{a-L}^{a+L}f(x)\,dx =\int_{-L}^{L}f(x)\,dx.

Resposta

\int_{a-L}^{a+L}f(x)\,dx=\int_{-L}^{L}f(x)\,dx.

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