4.4M Seja
uma função contínua
-periódica. Dado um número real
, mostre que:
Passo 1
O enunciado diz que
é contínua e
-periódica, ou seja, satisfaz
Queremos mostrar que a integral de
em qualquer intervalo de comprimento
não depende do ponto inicial, ou seja, para todo
,
Para isso, vamos usar o teorema de diferenciação sob o sinal de integral (regra de Leibniz) e a periodicidade de
.
Passo 2
Defina a função
Como
é contínua, podemos derivar
em relação a
usando a regra de Leibniz para limites dependentes de parâmetro. Temos
ou seja
Passo 3
Pela periodicidade de período
, vale
Substituindo em
obtemos
Logo,
é constante em
.
Passo 4
Como
é constante, basta avaliar em
. Obtemos