Questão 1. Use a definição de limite para mostrar que
\lim _{x \rightarrow 1}(3 x-1)=2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limite ε–δ, que
\lim_{x \to 1}(3x - 1) = 2.
O conteúdo aqui é a definição formal de limite para funções reais.

Passo 2

Relembrando a definição: devemos provar que, dado qualquer \epsilon > 0, existe \delta > 0 tal que, se
0 < |x - 1| < \delta,
então
|(3x - 1) - 2| < \epsilon.

Passo 3

Vamos manipular o valor absoluto que aparece na definição:
|(3x - 1) - 2| = |3x - 3| = |3\,(x - 1)| = 3\,|x - 1|.

Passo 4

Para garantir 3\,|x - 1| < \epsilon, basta exigir
|x - 1| < \frac{\epsilon}{3}.
Logo, damos a escolha
\delta = \frac{\epsilon}{3}.
Assim, sempre que 0<|x-1|<\delta, temos
|(3x - 1) - 2| = 3\,|x - 1| < 3 \cdot \frac{\epsilon}{3} = \epsilon.

Resposta

Portanto, por definição, \lim_{x \to 1}(3x - 1) = 2.

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