(4pts) Calcule a integral
Passo 1
O problema pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é a razão
. - Os limites de integração são
(inferior) e (superior). - A tarefa é encontrar o valor numérico exato dessa integral.
Passo 2
Primeiro simplificamos o integrando dividindo cada termo do numerador por
. Isso torna a integral fácil de integrar termo a termo. Faço a divisão termo a termo:
Explicando: por exemplo,
,
e assim por diante.
Passo 3
Agora vou integrar termo a termo. Antes, lembro duas regras básicas de integração que usamos aqui:
- Regra da potência: para
,
Aqui
é a variável de integração e
é o expoente.
- Regra do logaritmo: para
,
Também usaremos que
(constante pode sair da integral) e que a integral de soma é soma das integrais.
Pequeno exemplo para fixar:
pela regra da potência.
Passo 4
Aplicando as regras termo a termo ao integrando
, obtemos uma primitiva
:
Somando tudo,
Passo 5
Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: a integral definida de
a
é
. Calculo
e
.
Calcule
:
Computando:
Somando essas partes sem o log:
Logo
Calcule
:
Computando:
Somando:
Logo
Passo 6
Finalmente a integral é
Portanto