(4pts) Calcule a integral
\int_{1}^{2} \frac{4 x^{5}-2 x^{3}+3 x^{2}+3 x+4}{x^{2}} d x

Passo 1

O problema pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2} \frac{4 x^{5}-2 x^{3}+3 x^{2}+3 x+4}{x^{2}}\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é a razão \dfrac{4 x^{5}-2 x^{3}+3 x^{2}+3 x+4}{x^{2}}.
  • Os limites de integração são 1 (inferior) e 2 (superior).
  • A tarefa é encontrar o valor numérico exato dessa integral.

Passo 2

Primeiro simplificamos o integrando dividindo cada termo do numerador por x^{2}. Isso torna a integral fácil de integrar termo a termo. Faço a divisão termo a termo:
\frac{4 x^{5}-2 x^{3}+3 x^{2}+3 x+4}{x^{2}} =4x^{3}-2x+3+\frac{3}{x}+\frac{4}{x^{2}}.
Explicando: por exemplo, \dfrac{4x^{5}}{x^{2}}=4x^{3}, \dfrac{3x}{x^{2}}=\dfrac{3}{x} e assim por diante.

Passo 3

Agora vou integrar termo a termo. Antes, lembro duas regras básicas de integração que usamos aqui:
  • Regra da potência: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui x é a variável de integração e n é o expoente.
  • Regra do logaritmo: para x\neq 0,
\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C.
Também usaremos que \int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx (constante pode sair da integral) e que a integral de soma é soma das integrais.
Pequeno exemplo para fixar: \int x^{3}\,dx=\dfrac{x^{4}}{4} pela regra da potência.

Passo 4

Aplicando as regras termo a termo ao integrando 4x^{3}-2x+3+\dfrac{3}{x}+\dfrac{4}{x^{2}}, obtemos uma primitiva F(x):
  • \displaystyle \int 4x^{3}\,dx = 4\cdot\frac{x^{4}}{4}=x^{4}.
  • \displaystyle \int -2x\,dx = -2\cdot\frac{x^{2}}{2}=-x^{2}.
  • \displaystyle \int 3\,dx = 3x.
  • \displaystyle \int \frac{3}{x}\,dx = 3\ln|x|.
  • \displaystyle \int \frac{4}{x^{2}}\,dx = 4\int x^{-2}\,dx = 4\cdot\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac{4}{x}.
Somando tudo,
F(x)=x^{4}-x^{2}+3x+3\ln|x|-\frac{4}{x}.

Passo 5

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: a integral definida de 1 a 2 é F(2)-F(1). Calculo F(2) e F(1).
Calcule F(2):
F(2)=2^{4}-2^{2}+3\cdot 2+3\ln|2|-\frac{4}{2}.
Computando:
2^{4}=16,\quad -2^{2}=-4,\quad 3\cdot 2=6,\quad -\frac{4}{2}=-2.
Somando essas partes sem o log:
16-4+6-2=16.
Logo
F(2)=16+3\ln 2.
Calcule F(1):
F(1)=1^{4}-1^{2}+3\cdot 1+3\ln|1|-\frac{4}{1}.
Computando:
1^{4}=1,\quad -1^{2}=-1,\quad 3\cdot1=3,\quad 3\ln 1=0,\quad -\frac{4}{1}=-4.
Somando:
1-1+3+0-4=-1.
Logo
F(1)=-1.

Passo 6

Finalmente a integral é
\int_{1}^{2} \frac{4 x^{5}-2 x^{3}+3 x^{2}+3 x+4}{x^{2}}\,dx = F(2)-F(1) = \bigl(16+3\ln 2\bigr)-(-1).
Portanto
F(2)-F(1)=17+3\ln 2.

Resposta

\,17+3\ln 2

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