M=\left(\begin{array}{lll}a & 0 & b \\\ 0 & c & 0 \d & 0 & e\end{array}\right)
\operatorname{com} a, b, c, d, e \in\{-1,0,1\}.
Quantas matrizes de X são simétricas, isto é, satisfazem M=M^{T}, sendo M^{T} a matriz transposta de M ? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para contar quantas matrizes M do conjunto X são simétricas, ou seja, satisfazem M=M^{T}.
As informações dadas são:
Cada matriz M\in X tem a forma
M=\left(\begin{array}{lll} a & 0 & b\\[4pt] 0 & c & 0\\[4pt] d & 0 & e \end{array}\right)
Os coeficientes a,b,c,d,e pertencem ao conjunto \{-1,0,1\}.
Precisamos justificar a contagem (não basta só escrever o número).]
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transposta e o que significa ser simétrica. A transposta de uma matriz M, denotada M^{T}, é a matriz obtida trocando linhas por colunas: o elemento na posição (i,j) de M^{T} é o elemento na posição (j,i) de M. Em notação,
(M^{T})_{ij}=M_{ji}\quad\text{para todo }i,j.
Uma matriz M é simétrica se M=M^{T}, isto é, todos os elementos satisfazem M_{ij}=M_{ji}. Isso impõe igualdades entre entradas simétricas em relação à diagonal principal.
Passo 3
Vamos escrever explicitamente a transposta da matriz dada. Tomando a matriz
M=\left(\begin{array}{lll} a & 0 & b\\[4pt] 0 & c & 0\\[4pt] d & 0 & e \end{array}\right),
a transposta é
M^{T}=\left(\begin{array}{lll} a & 0 & d\\[4pt] 0 & c & 0\\[4pt] b & 0 & e \end{array}\right).
Agora impomos M=M^{T}. Isso equivale a igualar entrada a entrada:
Na diagonal: (1,1) dá a=a, (2,2) dá c=c, (3,3) dá e=e. Essas igualdades são automáticas (são tautologias), ou seja, não impõem restrições adicionais além de o valor estar no conjunto \{-1,0,1\}.
Fora da diagonal: (1,2) e (2,1) dão 0=0 (já satisfeitas). (2,3) e (3,2) dão 0=0 (já satisfeitas).
A única condição não automática vem de (1,3) e (3,1): precisamos de b=d.
Portanto a condição para M ser simétrica é exatamente
b=d,
com a,c,e livres (cada um podendo ser -1,0 ou 1) e b (então também d) escolhendo um valor em \{-1,0,1\}.]
Passo 4
Agora contamos as possibilidades. Cada variável livre pode assumir 3 valores (os elementos de \{-1,0,1\}):
a tem 3 escolhas,
c tem 3 escolhas,
e tem 3 escolhas,
b tem 3 escolhas, e então d fica igual a b (sem escolha extra).
Como essas escolhas são independentes, aplicamos a regra do produto (princípio fundamental da contagem): o número total de matrizes simétricas é o produto das quantidades de escolhas para cada entrada independente: