3.4S Use uma série de potências adequada e aproxime cada integral com 4 casas decimais:
\int_{0}^{1 / 3} \frac{d x}{1+x^{6}}

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
\int_{0}^{1/3}\frac{dx}{1+x^{6}}
usando uma série de potências adequada. Vamos usar a expansão de \frac{1}{1+u} para u=x^{6}, integrar termo a termo e estimar o erro para garantir quatro casas decimais.

Passo 2

Para |x|<1 temos a série convergente
\frac{1}{1+x^{6}} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{6n}.

Passo 3

Integrando termo a termo de 0 a 1/3:
\int_{0}^{1/3}\frac{dx}{1+x^{6}} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\int_{0}^{1/3}x^{6n}\,dx =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^{6n+1}}{6n+1}.

Passo 4

Calculando os dois primeiros termos:
n =0:
\frac{\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^{1}}{1} =\frac{1}{3}\approx0,3333333,
n =1:
-\frac{\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^{7}}{7} =-\frac{1}{7\cdot3^{7}}\approx-0,0000653.
Soma parcial:
S_{1}=0,3333333-0,0000653\approx0,3332680.

Passo 5

O termo seguinte em módulo é
\frac{\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^{13}}{13}\approx4{,}8\times10^{-8},
logo o resto da série é menor que 5\times10^{-8}<10^{-4}. Assim, S_{1} já garante quatro casas decimais corretas.

Resposta

Aproximadamente 0,3333.

Exercícios relacionados