\checkmark 3.4O Desenvolva as funções f(x)=\frac{1}{1-3 x} e g(x)=\frac{1}{3-2 x} em séries de potências de x, determine os respectivos intervalos de convergência e em seguida obtenha séries para representar as funções f^{\prime}(x) e \int_{0}^{x} g(t) d t.

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver as funções
f(x)=\frac{1}{1-3x}
e
g(x)=\frac{1}{3-2x}
em séries de potências de x, determinar os respectivos intervalos de convergência e, a partir dessas séries, obter séries para f'(x) e para
\int_{0}^{x}g(t)\,dt.
Vamos usar a fórmula da série geométrica
\frac{1}{1-r}=\sum_{n=0}^{\infty}r^n,\quad |r|<1,
aplicando-a com r apropriado em cada caso.

Passo 2

Para f(x) escrevemos
f(x)=\frac{1}{1-3x}=\sum_{n=0}^{\infty}(3x)^n=\sum_{n=0}^{\infty}3^n x^n.

Passo 3

A condição de convergência é
|3x|<1\implies |x|<\tfrac{1}{3}.

Passo 4

Para g(x) fatoramos
g(x)=\frac{1}{3-2x}=\frac{1}{3}\,\frac{1}{1-\tfrac{2}{3}x} =\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\tfrac{2}{3}x\Bigr)^n =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^n}{3^{\,n+1}}\,x^n.

Passo 5

A condição de convergência é
\Bigl|\tfrac{2}{3}x\Bigr|<1\implies |x|<\tfrac{3}{2}.

Passo 6

Derivando termo a termo a série de f(x), temos
f'(x)=\frac{d}{dx}\sum_{n=0}^{\infty}3^n x^n =\sum_{n=1}^{\infty}n\,3^n x^{\,n-1}.
Essa série converge também para |x|<\tfrac{1}{3}.

Passo 7

Integramos termo a termo a série de g(t) de 0 até x:
\int_{0}^{x}g(t)\,dt =\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^n}{3^{\,n+1}}t^n\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^n}{3^{\,n+1}} \int_{0}^{x}t^n\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^n}{3^{\,n+1}(n+1)}\,x^{\,n+1},
válida para |x|<\tfrac{3}{2}.

Resposta

f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}3^n x^n,\quad |x|<\tfrac{1}{3}. g(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^n}{3^{\,n+1}}x^n,\quad |x|<\tfrac{3}{2}. f'(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n\,3^n x^{\,n-1},\quad |x|<\tfrac{1}{3}. \displaystyle\int_{0}^{x}g(t)\,dt=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^n}{3^{\,n+1}(n+1)}\,x^{\,n+1},\quad |x|<\tfrac{3}{2}.

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