[5, 3] Suponha que um cientista tenha razões para acreditar que duas quantidades
e
estejam relacionadas linearmente, ou seja,
, pelo menos aproximadamente, para algum valor de
e de
. O cientista realiza uma experiência e coleta os dados na forma de pontos
, e então coloca-os em um gráfico. Os pontos não estão todos alinhados, de modo que o cientista quer determinar as constantes
e
para que a reta
ajuste os pontos tanto quanto possível, ou seja, de forma que a soma dos quadrados dos erros
seja mínima. Ajude-o determinando
e
para que a soma abaixo seja mínima.
(3.6) [1, Ex.30, p.587] A Lei de Hooke diz que o comprimento
de uma mola é uma função linear da força
aplicada sobre a mola. Assim, existem constantes
tais que
. A tabela abaixo mostra o resultado de pendurarmos vários pesos na mola.
F (onça) | 2 | 4 | 6 | 8 |
---|---|---|---|---|
|
7,4 | 9,6 | 11,5 | 13,6 |
(a) Determine as constantes
e
que definem a reta de quadrados mínimos para esses dados.
(b) Estime o comprimento da mola, considerando um peso de cinco onças pendurado nela.
(b) Estime o comprimento da mola, considerando um peso de cinco onças pendurado nela.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão é sobre encontrar uma relação linear entre duas quantidades, $ F $ (força) e $ L $ (comprimento da mola). A gente precisa achar as constantes $ \alpha $ e $ \beta $ na equação $ L = \alpha + \beta F $ que melhor ajustam os dados fornecidos, ou seja, que minimizam a soma dos quadrados dos erros. Além disso, vamos usar esses valores para estimar o comprimento da mola quando a força for de cinco onças. Para isso, vamos usar o método dos mínimos quadrados, que envolve algumas fórmulas matemáticas que vamos explicar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método dos mínimos quadrados. Ele serve para encontrar a linha que melhor se ajusta aos pontos em um gráfico, minimizando a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela linha. Nesse caso, queremos minimizar:
Onde $ F_i $ e $ L_i $ são os valores observados na tabela.
Passo 3
Para encontrar $ \alpha $ e $ \beta $, usamos as seguintes fórmulas:
Aqui, $ n $ é o número de pontos de dados, que no caso é 4.
Passo 4
Vamos calcular os valores necessários:
Primeiro, listamos os dados:
Agora, calculamos as somas:
Passo 5
Agora, substituímos esses valores nas fórmulas para $ \beta $ e $ \alpha $:
Para $ \beta $:
Para $ \alpha $:
Passo 6
Então, as constantes que definem a reta de mínimos quadrados são:
Passo 7
Com essas constantes, a equação da reta fica:
Passo 8
Agora, para estimar o comprimento da mola com uma força de cinco onças, substituímos $ F = 5 $ na equação:
Resposta
(a) As constantes são $ \alpha = 4,15 $ e $ \beta = 1,225 $.
(b) O comprimento estimado da mola com 5 onças de força é $ 10,275 $ polegadas.