[5, 3] Suponha que um cientista tenha razões para acreditar que duas quantidades x e y estejam relacionadas linearmente, ou seja, y=alpha x+beta, pelo menos aproximadamente, para algum valor de alpha e de beta. O cientista realiza uma experiência e coleta os dados na forma de pontos (x1, y1),(x2, y2), ldots,(xn, yn), e então coloca-os em um gráfico. Os pontos não estão todos alinhados, de modo que o cientista quer determinar as constantes alpha e beta para que a reta y=alpha x+beta ajuste os pontos tanto quanto possível, ou seja, de forma que a soma dos quadrados dos erros f(xi)-yi seja mínima. Ajude-o determinando alpha e beta para que a soma abaixo seja mínima.
E(alpha, beta)=sumi=1^n[f(xi)-yi]^2
(3.6) [1, Ex.30, p.587] A Lei de Hooke diz que o comprimento L de uma mola é uma função linear da força F aplicada sobre a mola. Assim, existem constantes alpha, beta tais que L=alpha+beta F. A tabela abaixo mostra o resultado de pendurarmos vários pesos na mola.
F (onça) 2 4 6 8
L (polegadas) 7,4 9,6 11,5 13,6
(a) Determine as constantes alpha e beta que definem a reta de quadrados mínimos para esses dados.
(b) Estime o comprimento da mola, considerando um peso de cinco onças pendurado nela.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão é sobre encontrar uma relação linear entre duas quantidades, $ F $ (força) e $ L $ (comprimento da mola). A gente precisa achar as constantes $ \alpha $ e $ \beta $ na equação $ L = \alpha + \beta F $ que melhor ajustam os dados fornecidos, ou seja, que minimizam a soma dos quadrados dos erros. Além disso, vamos usar esses valores para estimar o comprimento da mola quando a força for de cinco onças. Para isso, vamos usar o método dos mínimos quadrados, que envolve algumas fórmulas matemáticas que vamos explicar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método dos mínimos quadrados. Ele serve para encontrar a linha que melhor se ajusta aos pontos em um gráfico, minimizando a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela linha. Nesse caso, queremos minimizar:
E(alpha, beta) = sumi=1^n ( alpha + beta Fi - Li )^2
Onde $ F_i $ e $ L_i $ são os valores observados na tabela.

Passo 3

Para encontrar $ \alpha $ e $ \beta $, usamos as seguintes fórmulas:
alpha
beta
Aqui, $ n $ é o número de pontos de dados, que no caso é 4.

Passo 4

Vamos calcular os valores necessários:
Primeiro, listamos os dados:
c|cccc F (onça) & 2 & 4 & 6 & 8 hline L (po<=gadas) & 7,4 & 9,6 & 11,5 & 13,6 ç
Agora, calculamos as somas:
sum Fi = 2 + 4 + 6 + 8 = 20
sum Li = 7,4 + 9,6 + 11,5 + 13,6 = 41,1
sum Fi Li = (2 times 7,4) + (4 times 9,6) + (6 times 11,5) + (8 times 13,6) = 14,8 + 38,4 + 69 + 108,8 = 230
sum Fi^2 = 2^2 + 4^2 + 6^2 + 8^2 = 4 + 16 + 36 + 64 = 120

Passo 5

Agora, substituímos esses valores nas fórmulas para $ \beta $ e $ \alpha $:
Para $ \beta $:
beta
Para $ \alpha $:
alpha

Passo 6

Então, as constantes que definem a reta de mínimos quadrados são:
alpha = 4,15 e beta = 1,225

Passo 7

Com essas constantes, a equação da reta fica:
L = 4,15 + 1,225F

Passo 8

Agora, para estimar o comprimento da mola com uma força de cinco onças, substituímos $ F = 5 $ na equação:
F = 5

Resposta

(a) As constantes são $ \alpha = 4,15 $ e $ \beta = 1,225 $.
(b) O comprimento estimado da mola com 5 onças de força é $ 10,275 $ polegadas.

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