Esboce o gráfico de uma função que satisfaça todas as condições dadas:
Passo 1
O enunciado pede que a gente esboce um gráfico de uma função cujo derivada é sempre negativa (exceto em x=1), que tenha assíntota vertical em x=1, seja côncava para cima em x<1 e x>3, e côncava para baixo em 1<x<3. Vamos usar sinais de f′ e f″ para entender monotonicidade e concavidade e assim montar o esboço.
Passo 2
Como f′(x)<0 em todo x≠1, a função é estritamente decrescente tanto em (–∞,1) quanto em (1,∞). A assíntota vertical em x=1 divide o gráfico em dois ramos desconectados.
A concavidade vem de f″: para x<1 temos f″(x)>0 ⇒ ramo esquerdo é côncavo para cima. Para 1<x<3 temos f″(x)<0 ⇒ ramo direito é inicialmente côncavo para baixo. Para x>3 f″(x)>0 ⇒ após x=3 o ramo direito muda para côncavo para cima, logo x=3 é ponto de inflexão (chamado só no ramo direito).
A concavidade vem de f″: para x<1 temos f″(x)>0 ⇒ ramo esquerdo é côncavo para cima. Para 1<x<3 temos f″(x)<0 ⇒ ramo direito é inicialmente côncavo para baixo. Para x>3 f″(x)>0 ⇒ após x=3 o ramo direito muda para côncavo para cima, logo x=3 é ponto de inflexão (chamado só no ramo direito).
Passo 3
Para montar o esboço escolhemos que, ao nos aproximarmos de x=1 por ambos os lados, f(x)→+∞ (assim o ramo decresce partindo do infinito para valores finitos). Graficamente, em x→1– subimos ao infinito côncavos para cima; em x→1+ também partimos de +∞, descendo (côncavo para baixo até x=3, depois côncavo para cima).
No ramo esquerdo trace uma curva decrescente, côncava para cima, vinda de algum ponto finito em x→–∞ (não foi dada assíntota horizontal) e subindo até f(x)→+∞ quando x→1–.
No ramo direito comece em f(x)→+∞ quando x→1+. Até x=3 faça o traço decrescente côncavo para baixo. Em x=3 marque o ponto de inflexão e daí em diante continue decrescendo mas agora côncavo para cima, estendendo o gráfico para x→+∞.
No ramo esquerdo trace uma curva decrescente, côncava para cima, vinda de algum ponto finito em x→–∞ (não foi dada assíntota horizontal) e subindo até f(x)→+∞ quando x→1–.
No ramo direito comece em f(x)→+∞ quando x→1+. Até x=3 faça o traço decrescente côncavo para baixo. Em x=3 marque o ponto de inflexão e daí em diante continue decrescendo mas agora côncavo para cima, estendendo o gráfico para x→+∞.
Passo 4
O resultado final é um esboço qualitativo com assíntota vertical x=1, ramo esquerdo decrescente côncavo para cima, ramo direito decrescente côncavo para baixo até x=3 e depois decrescente côncavo para cima.
Resposta
Gráfico de f com:
- Assíntota vertical x=1,
- Ambos os ramos partindo de +∞ em x→1± e decrescendo,
- Ramo em x<1 côncavo para cima,
- Ramo em 1<x<3 côncavo para baixo,
- Inflação em x=3, depois ramo côncavo para cima para x>3.