Dada a função.
f(x)=x^3-12 x+1
Encontre os valores máximo e mínimo local de f.

Passo 1

Temos a função f(x)=x^3-12x+1. O conteúdo aqui é derivadas para achar extremos locais: vamos precisar de f'(x) para encontrar pontos críticos e f''(x) para classificar cada ponto.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira: f'(x)=3x^2-12. Pontos críticos satisfazem f'(x)=0, ou seja,
3x^2-12=0 implies x^2=4 implies x=2 ou x=-2

Passo 3

Agora a derivada segunda: f''(x)=6x. Avaliamos em cada ponto crítico:
  • Para x=-2: f''(-2)=6cdot(-2)=-12<0, logo há um máximo local em x=-2.
  • Para x=2: f''(2)=6cdot2=12>0, logo há um mínimo local em x=2.

Passo 4

Finalmente, calculamos os valores de f nesses pontos:
f(-2)=(-2)^3-12cdot(-2)+1=-8+24+1=17,
f(2)=2^3-12cdot2+1=8-24+1=-15

Resposta

O máximo local é f(-2)=17 e o mínimo local é f(2)=-15.

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