Se
, ache:
a)
incremento de
.
b)
quando
e
.
c)
, a diferencial total de
em
.
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede quatro coisas:
- (a) calcular
, o incremento de em (isto é, a expressão geral do incremento em função de e ); - (b) avaliar esse
quando e ; - (c) escrever a diferencial total
(a aproximação linear do incremento em ); - (d) avaliar essa diferencial para
e .
Dados numéricos que vou usar:
e
.
Passo 2
Definição e ideia. O incremento de
em
é a mudança exata:
A diferencial total
é a parte linear dessa mudança dada por
onde
e
são as derivadas parciais de
.
Passo 3
Calcular o valor base
(vai servir para subtrair ao calcular o incremento).
Agora as contas passo a passo:
Somando:
Passo 4
Calcular
expandindo os quadrados e produtos para obter
.
Substituindo:
Substituindo:
Expandir cada termo separadamente.
-
, então
-
, então
-
, então
Somando os três blocos:
Agora combinar termos semelhantes:
- constantes:
(confere com ); - coeficiente de
: ; - coeficiente de
: ; - termo cruzado:
; - termos quadráticos:
.
Portanto
Passo 5
Subtrair
para obter o incremento exato
:
Usando o resultado do passo anterior (e lembrando
), cancelam as constantes e obtemos:
Comentário didático: os dois primeiros termos
são lineares em
; os demais são termos de ordem mais alta (produto e quadrados) e tornam a expressão exata — são os termos que a diferencial linear ignora.
Passo 6
Avaliar
para
e
. Usar a expressão encontrada:
Calcular cada parcela (com vírgula decimal):
Somando tudo:
Passo 7
Calcular a diferencial total em
. Primeiro obter as derivadas parciais gerais:
Avaliar em
:
Assim a diferencial total (a parte linear) é
Interpretação: esta é a aproximação linear de
quando
são pequenos; os outros termos de
são o erro (resto) de segunda ordem.
Passo 8
Avaliar a diferencial para
e
:
Passo 9
Verificação rápida da relação entre incremento exato e diferencial: a diferença
é o resto de ordem superior,
Com os valores dados:
, e de fato
(confere).
Resposta
(a)
(b) para
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)