Se f(x, y)=2 x^{2}+5 x y+4 y^{2}, ache:
a) \Delta f(2,-1), o incremento de f \mathrm{em}(2,-1).
b) \Delta f(2,-1) quando \Delta x=-0,01 e \Delta y=0,2.
c) d f(2,-1, \Delta x, \Delta y), a diferencial total de f em (2,-1).
d) d f(2,-1,-0,01,0,2)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=2x^{2}+5xy+4y^{2}
e pede quatro coisas:
  • (a) calcular \Delta f(2,-1), o incremento de f em (2,-1) (isto é, a expressão geral do incremento em função de \Delta x e \Delta y);
  • (b) avaliar esse \Delta f(2,-1) quando \Delta x=-0,01 e \Delta y=0,2;
  • (c) escrever a diferencial total d f(2,-1,\Delta x,\Delta y) (a aproximação linear do incremento em (2,-1));
  • (d) avaliar essa diferencial para \Delta x=-0,01 e \Delta y=0,2.
Dados numéricos que vou usar: \Delta x=-0,01 e \Delta y=0,2.

Passo 2

Definição e ideia. O incremento de f em (x_{0},y_{0}) é a mudança exata:
\Delta f(x_{0},y_{0})=f(x_{0}+\Delta x,\;y_{0}+\Delta y)-f(x_{0},y_{0}).
A diferencial total d f(x_{0},y_{0},\Delta x,\Delta y) é a parte linear dessa mudança dada por
d f(x_{0},y_{0},\Delta x,\Delta y)=f_{x}(x_{0},y_{0})\,\Delta x+f_{y}(x_{0},y_{0})\,\Delta y,
onde f_{x} e f_{y} são as derivadas parciais de f.

Passo 3

Calcular o valor base f(2,-1) (vai servir para subtrair ao calcular o incremento).
f(2,-1)=2\cdot 2^{2}+5\cdot 2\cdot(-1)+4\cdot(-1)^{2}.
Agora as contas passo a passo:
2\cdot 2^{2}=2\cdot 4=8,\qquad 5\cdot 2\cdot(-1)=-10,\qquad 4\cdot(-1)^{2}=4.
Somando:
f(2,-1)=8-10+4=2.

Passo 4

Calcular f(2+\Delta x,-1+\Delta y) expandindo os quadrados e produtos para obter \Delta f.
Substituindo:
f(2+\Delta x,-1+\Delta y)=2(2+\Delta x)^{2}+5(2+\Delta x)(-1+\Delta y)+4(-1+\Delta y)^{2}.
Expandir cada termo separadamente.
  1. (2+\Delta x)^{2}=4+4\Delta x+\Delta x^{2}, então
2(2+\Delta x)^{2}=8+8\Delta x+2\Delta x^{2}.
  1. (2+\Delta x)(-1+\Delta y)=2(-1)+2\Delta y-\Delta x+\Delta x\Delta y=-2+2\Delta y-\Delta x+\Delta x\Delta y, então
5(2+\Delta x)(-1+\Delta y)=-10+10\Delta y-5\Delta x+5\Delta x\Delta y.
  1. (-1+\Delta y)^{2}=1-2\Delta y+\Delta y^{2}, então
4(-1+\Delta y)^{2}=4-8\Delta y+4\Delta y^{2}.
Somando os três blocos:
\begin{aligned} f(2+\Delta x,-1+\Delta y)&=(8+8\Delta x+2\Delta x^{2})+(-10+10\Delta y-5\Delta x+5\Delta x\Delta y)\\\ &\quad+(4-8\Delta y+4\Delta y^{2}). \end{aligned}
Agora combinar termos semelhantes:
  • constantes: 8-10+4=2 (confere com f(2,-1));
  • coeficiente de \Delta x: 8\Delta x-5\Delta x=3\Delta x;
  • coeficiente de \Delta y: 10\Delta y-8\Delta y=2\Delta y;
  • termo cruzado: 5\Delta x\Delta y;
  • termos quadráticos: 2\Delta x^{2}+4\Delta y^{2}.
Portanto
f(2+\Delta x,-1+\Delta y)=2+3\Delta x+2\Delta y+5\Delta x\Delta y+2\Delta x^{2}+4\Delta y^{2}.

Passo 5

Subtrair f(2,-1) para obter o incremento exato \Delta f(2,-1):
\Delta f(2,-1)=f(2+\Delta x,-1+\Delta y)-f(2,-1).
Usando o resultado do passo anterior (e lembrando f(2,-1)=2), cancelam as constantes e obtemos:
\boxed{\Delta f(2,-1)=3\Delta x+2\Delta y+5\Delta x\Delta y+2\Delta x^{2}+4\Delta y^{2}.}
Comentário didático: os dois primeiros termos 3\Delta x+2\Delta y são lineares em \Delta x,\Delta y; os demais são termos de ordem mais alta (produto e quadrados) e tornam a expressão exata — são os termos que a diferencial linear ignora.

Passo 6

Avaliar \Delta f(2,-1) para \Delta x=-0,01 e \Delta y=0,2. Usar a expressão encontrada:
\Delta f(2,-1)=3\Delta x+2\Delta y+5\Delta x\Delta y+2\Delta x^{2}+4\Delta y^{2}.
Calcular cada parcela (com vírgula decimal):
3\Delta x=3\cdot(-0,01)=-0,03, \qquad 2\Delta y=2\cdot0,2=0,4.
5\Delta x\Delta y=5\cdot(-0,01)\cdot0,2=5\cdot(-0,002)=-0,01.
2\Delta x^{2}=2\cdot(-0,01)^{2}=2\cdot0,0001=0,0002, \qquad 4\Delta y^{2}=4\cdot(0,2)^{2}=4\cdot0,04=0,16.
Somando tudo:
\Delta f(2,-1)=-0,03+0,4-0,01+0,0002+0,16=0,5202.

Passo 7

Calcular a diferencial total em (2,-1). Primeiro obter as derivadas parciais gerais:
f_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(2x^{2}+5xy+4y^{2})=4x+5y,
f_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(2x^{2}+5xy+4y^{2})=5x+8y.
Avaliar em (2,-1):
f_{x}(2,-1)=4\cdot 2+5\cdot(-1)=8-5=3,
f_{y}(2,-1)=5\cdot 2+8\cdot(-1)=10-8=2.
Assim a diferencial total (a parte linear) é
\boxed{d f(2,-1,\Delta x,\Delta y)=3\Delta x+2\Delta y.}
Interpretação: esta é a aproximação linear de \Delta f quando \Delta x,\Delta y são pequenos; os outros termos de \Delta f são o erro (resto) de segunda ordem.

Passo 8

Avaliar a diferencial para \Delta x=-0,01 e \Delta y=0,2:
d f(2,-1,-0,01,0,2)=3\cdot(-0,01)+2\cdot0,2=-0,03+0,4=0,37.

Passo 9

Verificação rápida da relação entre incremento exato e diferencial: a diferença \Delta f-df é o resto de ordem superior,
\Delta f-df=5\Delta x\Delta y+2\Delta x^{2}+4\Delta y^{2}.
Com os valores dados: -0,01+0,0002+0,16=0,1502, e de fato 0,5202-0,37=0,1502 (confere).

Resposta

(a) \Delta f(2,-1)=3\Delta x+2\Delta y+5\Delta x\Delta y+2\Delta x^{2}+4\Delta y^{2}
(b) \Delta f(2,-1)=0,5202 para \Delta x=-0,01,\\ \Delta y=0,2
(c) d f(2,-1,\Delta x,\Delta y)=3\Delta x+2\Delta y
(d) d f(2,-1,-0,01,0,2)=0,37

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