Ache as derivadas parciais das funções abaixo utilizando a regra da cadeia:
  • u=x^{2}-y^{2} \operatorname{com} x=3 r-s e y=r+2 s
  • u=e^{\frac{y}{x}} \operatorname{com} x=2 r \cos (t) e y=4 r \operatorname{sen}(t)
  • u=x^{2}+y^{2}+z^{2} \operatorname{com} x=r \operatorname{sen}(\varphi) \cos (\theta), y=\operatorname{sen}(\varphi) \operatorname{sen}(\theta) e z=r \cos (\varphi)

Passo 1

Vou deixar muito claro o que o enunciado pede e quais são os dados para cada item.
  • Item (1): A função é u=x^{2}-y^{2} com as variáveis internas dadas por
    x=3r-s,\qquad y=r+2s.
    O pedido é calcular as derivadas parciais de u em relação às variáveis independentes r e s, ou seja \dfrac{\partial u}{\partial r} e \dfrac{\partial u}{\partial s}.
  • Item (2): A função é u=e^{\frac{y}{x}} com
    x=2r\cos(t),\qquad y=4r\sin(t).
    O pedido é calcular \dfrac{\partial u}{\partial r} e \dfrac{\partial u}{\partial t}.
  • Item (3): A função é u=x^{2}+y^{2}+z^{2} com (adotando a forma esférica padrão, assumo a notação \operatorname{sen}=\sin)
    x=r\sin(\varphi)\cos(\theta),\qquad y=r\sin(\varphi)\sin(\theta),\qquad z=r\cos(\varphi).
    O pedido é calcular \dfrac{\partial u}{\partial r}, \dfrac{\partial u}{\partial \varphi} e \dfrac{\partial u}{\partial \theta}.

Passo 2

Regra da cadeia (explicação didática e fórmula geral).
  • Ideia rápida: quando u depende de x,y,z e estas, por sua vez, dependem de outras variáveis (por exemplo r,s,t,\varphi,\theta), para achar a derivada de u em relação a uma variável externa (como r) somamos as contribuições de cada via x,y,z. Cada contribuição é a derivada de u em relação à variável interna multiplicada pela derivada dessa variável interna em relação à variável externa.
  • Fórmulas gerais úteis:
    • Se u=u(x,y) com x=x(r,s),\,y=y(r,s), então \frac{\partial u}{\partial r} = \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r},
\frac{\partial u}{\partial s} = \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}.
  • Se u=u(x,y,z) com x=x(r,\varphi,\theta),\,y=\cdots,\,z=\cdots, então, por exemplo,
    \frac{\partial u}{\partial r} = \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r} + \frac{\partial u}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial r},
    e fórmulas análogas para \partial/\partial\varphi e \partial/\partial\theta.
  • Em cada caso preciso:
    1. Calcular \frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial z} tratando as outras variáveis internas como constantes.
    2. Calcular as derivadas parciais das transformações x(\cdot),y(\cdot),z(\cdot) em relação às variáveis externas.
    3. Aplicar a fórmula da cadeia e simplificar, substituindo depois x,y,z pelas expressões em r,s,t,\varphi,\theta se for conveniente.
Agora aplico isso passo a passo em cada item.

Passo 3

  1. Primeiro calcule as derivadas parciais de u em relação a x e y, tratando uma como constante ao derivar em relação à outra:
\frac{\partial u}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-2y.
  1. Calcule as derivadas das transformações x(r,s) e y(r,s):
x=3r-s \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial x}{\partial r}=3,\\ \frac{\partial x}{\partial s}=-1.
y=r+2s \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial y}{\partial r}=1,\\ \frac{\partial y}{\partial s}=2.
  1. Aplique a regra da cadeia:
\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r} = 2x\cdot 3 + (-2y)\cdot 1 = 6x-2y.
Agora substituo x e y em termos de r,s:
\frac{\partial u}{\partial r} = 6(3r-s)-2(r+2s) = 18r-6s-2r-4s = 16r-10s.
  1. Para \partial u/\partial s:
\frac{\partial u}{\partial s} = \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s} = 2x\cdot(-1) + (-2y)\cdot 2 = -2x -4y.
Substituindo x,y:
\frac{\partial u}{\partial s} = -2(3r-s) -4(r+2s) = -6r+2s -4r -8s = -10r -6s.

Passo 4

  1. Calcule as derivadas parciais de u em relação a x e y. Aqui é útil lembrar que, se u=e^{v} com v=v(x,y), então \partial u/\partial x = e^{v}\cdot \partial v/\partial x. Tome v=\dfrac{y}{x}.
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{\partial}{\partial x}\!\left(y\cdot x^{-1}\right) = y\cdot(-1)x^{-2} = -\frac{y}{x^{2}},
porque ao derivar em relação a x tratamos y como constante. E
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{1}{x},
pois x é tratado como constante quando derivamos em relação a y.
Portanto
\frac{\partial u}{\partial x} = e^{\frac{y}{x}}\left(-\frac{y}{x^{2}}\right) = -\frac{y}{x^{2}}\,e^{\frac{y}{x}},
\frac{\partial u}{\partial y} = e^{\frac{y}{x}}\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x}\,e^{\frac{y}{x}}.
  1. Calcule as derivadas das transformações x(r,t) e y(r,t):
x=2r\cos t \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial x}{\partial r}=2\cos t,\\ \frac{\partial x}{\partial t}=-2r\sin t.
y=4r\sin t \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial y}{\partial r}=4\sin t,\\ \frac{\partial y}{\partial t}=4r\cos t.

Passo 5

  1. Primeiro \partial u/\partial r:
\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r}.
Substituindo \partial u/\partial x,\partial u/\partial y e as derivadas de x,y:
\frac{\partial u}{\partial r} = e^{\frac{y}{x}}\!\left(-\frac{y}{x^{2}}\right)\!(2\cos t) + e^{\frac{y}{x}}\!\left(\frac{1}{x}\right)\!(4\sin t).
Fatorando e^{y/x} e combinando termos sobre o denominador x^{2}:
\frac{\partial u}{\partial r} = e^{\frac{y}{x}}\frac{-2y\cos t + 4x\sin t}{x^{2}}.
Agora observe que com x=2r\cos t e y=4r\sin t os termos do numerador ficam:
-2y\cos t = -2(4r\sin t)\cos t = -8r\sin t\cos t,
4x\sin t = 4(2r\cos t)\sin t = 8r\sin t\cos t.
Eles se anulam, logo o numerador é zero. Portanto
\frac{\partial u}{\partial r}=0.
Comentário intuitivo: \dfrac{y}{x} = \dfrac{4r\sin t}{2r\cos t}=2\tan t não depende de r, então u=e^{y/x} também não depende de r.
  1. Agora \partial u/\partial t:
\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}.
Substituindo:
\frac{\partial u}{\partial t} = e^{\frac{y}{x}}\!\left(-\frac{y}{x^{2}}\right)\!(-2r\sin t) + e^{\frac{y}{x}}\!\left(\frac{1}{x}\right)\!(4r\cos t).
Fatorando e^{y/x} e um fator 2r/x^{2} se desejar, mas é mais direto simplificar substituindo x e y em termos de r,t. Use x=2r\cos t e y=4r\sin t.
Calcule termo a termo:
\text{primeiro termo} = e^{\frac{y}{x}}\cdot \frac{2r y\sin t}{x^{2}}, \qquad \text{segundo termo} = e^{\frac{y}{x}}\cdot \frac{4r\cos t}{x}.
Substituindo y e x: x^{2}=4r^{2}\cos^{2}t, y=4r\sin t. Então
\frac{2r y\sin t}{x^{2}} = \frac{2r\cdot 4r\sin t\cdot \sin t}{4r^{2}\cos^{2}t} = \frac{8r^{2}\sin^{2}t}{4r^{2}\cos^{2}t} = 2\tan^{2}t.
E
\frac{4r\cos t}{x} = \frac{4r\cos t}{2r\cos t} = 2.
Somando os dois termos dentro do colchete:
2\tan^{2}t + 2 = 2(\tan^{2}t+1)=2\operatorname{sec}^{2}t.
Portanto
\frac{\partial u}{\partial t} = e^{\frac{y}{x}}\cdot 2\operatorname{sec}^{2}t.
Como y/x=2\tan t, pode-se escrever também
\frac{\partial u}{\partial t} = 2e^{2\tan t}\operatorname{sec}^{2}t.

Passo 6

  1. Derivadas parciais de u em relação a x,y,z:
\frac{\partial u}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=2y,\qquad \frac{\partial u}{\partial z}=2z.
  1. Calcule as derivadas parciais das coordenadas esféricas (cada uma em relação a r,\varphi,\theta):
  • Para x=r\sin\varphi\cos\theta: \frac{\partial x}{\partial r}=\sin\varphi\cos\theta,\qquad \frac{\partial x}{\partial \varphi}=r\cos\varphi\cos\theta,\qquad \frac{\partial x}{\partial \theta}=-r\sin\varphi\sin\theta.
  • Para y=r\sin\varphi\sin\theta: \frac{\partial y}{\partial r}=\sin\varphi\sin\theta,\qquad \frac{\partial y}{\partial \varphi}=r\cos\varphi\sin\theta,\qquad \frac{\partial y}{\partial \theta}=r\sin\varphi\cos\theta.
  • Para z=r\cos\varphi: \frac{\partial z}{\partial r}=\cos\varphi,\qquad \frac{\partial z}{\partial \varphi}=-r\sin\varphi,\qquad \frac{\partial z}{\partial \theta}=0.

Passo 7

Use
\frac{\partial u}{\partial r} = 2x\frac{\partial x}{\partial r} + 2y\frac{\partial y}{\partial r} + 2z\frac{\partial z}{\partial r} = 2\big(x x_{r} + y y_{r} + z z_{r}\big).
Substitua x,y,z por suas expressões:
x x_{r} = (r\sin\varphi\cos\theta)(\sin\varphi\cos\theta) = r\sin^{2}\varphi\cos^{2}\theta,
y y_{r} = r\sin^{2}\varphi\sin^{2}\theta,
z z_{r} = r\cos^{2}\varphi.
Somando:
x x_{r}+y y_{r}+z z_{r} = r\big(\sin^{2}\varphi(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)+\cos^{2}\varphi\big) = r(\sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi)=r.
Logo
\frac{\partial u}{\partial r} = 2r.
(Interpretação rápida: u=x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2} em coordenadas esféricas padrão, então \partial u/\partial r = 2r.)

Passo 8

  1. Para \partial u/\partial \varphi:
\frac{\partial u}{\partial \varphi} = 2\big(x x_{\varphi} + y y_{\varphi} + z z_{\varphi}\big).
Calcule cada produto:
x x_{\varphi} = (r\sin\varphi\cos\theta)(r\cos\varphi\cos\theta) = r^{2}\sin\varphi\cos\varphi\cos^{2}\theta,
y y_{\varphi} = r^{2}\sin\varphi\cos\varphi\sin^{2}\theta.
Somando os dois primeiros:
x x_{\varphi} + y y_{\varphi} = r^{2}\sin\varphi\cos\varphi(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta) = r^{2}\sin\varphi\cos\varphi.
E
z z_{\varphi} = (r\cos\varphi)(-r\sin\varphi) = -r^{2}\sin\varphi\cos\varphi.
Somando os três termos obtém-se zero, logo
\frac{\partial u}{\partial \varphi} = 0.
  1. Para \partial u/\partial \theta:
\frac{\partial u}{\partial \theta} = 2\big(x x_{\theta} + y y_{\theta} + z z_{\theta}\big).
Calcule:
x x_{\theta} = (r\sin\varphi\cos\theta)(-r\sin\varphi\sin\theta) = -r^{2}\sin^{2}\varphi\cos\theta\sin\theta,
y y_{\theta} = (r\sin\varphi\sin\theta)(r\sin\varphi\cos\theta) = r^{2}\sin^{2}\varphi\sin\theta\cos\theta.
Esses dois se cancelam, e z z_{\theta}=0. Portanto
\frac{\partial u}{\partial \theta} = 0.
(Interpretação: como u=r^{2} depende apenas de r, derivadas angulares são zero.)

Resposta

\displaystyle \frac{\partial u}{\partial r}=16r-10s \
\displaystyle \frac{\partial u}{\partial s}=-10r-6s \
\displaystyle \frac{\partial u}{\partial r}=0 \
\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}=2e^{2\tan t}\operatorname{sec}^{2}t \
\displaystyle \frac{\partial u}{\partial r}=2r \
\displaystyle \frac{\partial u}{\partial \varphi}=0 \
\displaystyle \frac{\partial u}{\partial \theta}=0

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