Ache as derivadas parciais das funções abaixo utilizando a regra da cadeia:
-
e
-
e
-
e
Passo 1
Vou deixar muito claro o que o enunciado pede e quais são os dados para cada item.
-
Item (1): A função é
com as variáveis internas dadas por O pedido é calcular as derivadas parciais deem relação às variáveis independentes e , ou seja e . -
Item (2): A função é
com O pedido é calculare . -
Item (3): A função é
com (adotando a forma esférica padrão, assumo a notação ) O pedido é calcular, e .
Passo 2
Regra da cadeia (explicação didática e fórmula geral).
-
Ideia rápida: quando
depende de e estas, por sua vez, dependem de outras variáveis (por exemplo ), para achar a derivada de em relação a uma variável externa (como ) somamos as contribuições de cada via . Cada contribuição é a derivada de em relação à variável interna multiplicada pela derivada dessa variável interna em relação à variável externa. -
Fórmulas gerais úteis:
- Se
com , então
- Se
-
Se
com , então, por exemplo, e fórmulas análogas parae . -
Em cada caso preciso:
- Calcular
tratando as outras variáveis internas como constantes. - Calcular as derivadas parciais das transformações
em relação às variáveis externas. - Aplicar a fórmula da cadeia e simplificar, substituindo depois
pelas expressões em se for conveniente.
- Calcular
Agora aplico isso passo a passo em cada item.
Passo 3
- Primeiro calcule as derivadas parciais de
em relação a e , tratando uma como constante ao derivar em relação à outra:
- Calcule as derivadas das transformações
e :
- Aplique a regra da cadeia:
Agora substituo
e
em termos de
:
- Para
:
Substituindo
:
Passo 4
- Calcule as derivadas parciais de
em relação a e . Aqui é útil lembrar que, se com , então . Tome .
porque ao derivar em relação a
tratamos
como constante. E
pois
é tratado como constante quando derivamos em relação a
.
Portanto
- Calcule as derivadas das transformações
e :
Passo 5
- Primeiro
:
Substituindo
e as derivadas de
:
Fatorando
e combinando termos sobre o denominador
:
Agora observe que com
e
os termos do numerador ficam:
Eles se anulam, logo o numerador é zero. Portanto
Comentário intuitivo:
não depende de
, então
também não depende de
.
- Agora
:
Substituindo:
Fatorando
e um fator
se desejar, mas é mais direto simplificar substituindo
e
em termos de
. Use
e
.
Calcule termo a termo:
Substituindo
e
:
,
. Então
E
Somando os dois termos dentro do colchete:
Portanto
Como
, pode-se escrever também
Passo 6
- Derivadas parciais de
em relação a :
- Calcule as derivadas parciais das coordenadas esféricas (cada uma em relação a
):
- Para
: - Para
: - Para
:
Passo 7
Use
Substitua
por suas expressões:
Somando:
Logo
(Interpretação rápida:
em coordenadas esféricas padrão, então
.)
Passo 8
- Para
:
Calcule cada produto:
Somando os dois primeiros:
E
Somando os três termos obtém-se zero, logo
- Para
:
Calcule:
Esses dois se cancelam, e
. Portanto
(Interpretação: como
depende apenas de
, derivadas angulares são zero.)