Ache a derivada total das funções abaixo utilizando a regra da cadeia:
-
e
-
e
-
e
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada total
(ou seja, a taxa de variação de
em função de
) para três funções diferentes, cada uma dada em termos de
e
e com
e
expressos como funções de
. As três partes são:
- (a)
com e . - (b)
com e . - (c)
com e .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Em todas as partes
e dependem de ; em (c) a função depende explicitamente de além de depender de e . - Em cada caso precisamos aplicar a regra da cadeia para funções de várias variáveis (e, no caso (c), a versão que inclui derivada parcial em relação ao tempo quando
depende explicitamente de ). - Objetivo final: obter uma expressão simplificada para
em cada caso.
Passo 2
A regra da cadeia (caso padrão sem dependência explícita de
):
Aqui
significa a derivada parcial de
em relação a
tratando
como constante, e
é análoga. Em palavras: a variação total de
vem da soma das variações de
quando
muda e quando
muda, cada uma multiplicada pela taxa com que essa variável muda no tempo.
Se
depende explicitamente de
(além de depender de
e
), a fórmula vira:
onde
é a derivada parcial de
em relação ao
mantendo
e
fixos.
Antes de aplicar, lembre:
- Ao calcular
de uma expressão, trate e (se aparecer) como constantes. - Ao calcular
e , use derivadas usuais de funções de uma variável.
Agora aplicamos isso às três partes, passo a passo.
Passo 3
Função:
.
Calcule
: trate
como constante.
Portanto
Calcule
: trate
como constante.
Portanto
Passo 4
Dado
e
:
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 5
Substituindo
,
,
e
:
Se quiser expandir:
Pode também agrupar termos por
e
se isso ajudar na leitura.
Passo 6
Função:
.
Primeiro observe que
quando
, mas é suficiente usar a regra da derivada de
em produto. Calcule:
Portanto
Agora
:
Então
Passo 7
Dado
e
:
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 8
Substituindo
e
:
Então
Calcule cada termo:
Somando:
Passo 9
Função:
. Aqui
depende explicitamente de
, então usamos a fórmula completa:
Calcule as derivadas parciais (tratando as outras variáveis como constantes):
-
: derivando em relação a (fixando ):
-
: usar a regra do quociente com constante:
-
: derivando em relação a com constantes:
Passo 10
Dado
e
. Observação útil:
. Derivadas:
Aplicando a fórmula:
Passo 11
Colocando tudo sobre um denominador comum
ou simplificando passo a passo:
Primeiro reescreva:
Colocando em denominador
:
Numerador somado:
Mas
e
. Logo o numerador fica
Então
Substituindo
novamente para deixar em termos de
apenas:
portanto