Ache a derivada total das funções abaixo utilizando a regra da cadeia:
  • u=y e^{x}+x e^{y} \operatorname{com} x=\cos (t) e y=\operatorname{sen}(t)
  • u=\ln (x y)+y^{2} \operatorname{com} x=e^{t} e y=e^{-t}
  • u=\frac{x+t}{y+t} \operatorname{com} x=\ln (t) e y=\ln \left(\frac{1}{t}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada total \dfrac{du}{dt} (ou seja, a taxa de variação de u em função de t) para três funções diferentes, cada uma dada em termos de x e y e com x e y expressos como funções de t. As três partes são:
  • (a) u = y e^{x} + x e^{y} com x=\cos(t) e y=\sin(t).
  • (b) u = \ln(xy) + y^{2} com x=e^{t} e y=e^{-t}.
  • (c) u = \dfrac{x+t}{y+t} com x=\ln(t) e y=\ln\!\left(\dfrac{1}{t}\right).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Em todas as partes x e y dependem de t; em (c) a função u depende explicitamente de t além de depender de x e y.
  • Em cada caso precisamos aplicar a regra da cadeia para funções de várias variáveis (e, no caso (c), a versão que inclui derivada parcial em relação ao tempo quando u depende explicitamente de t).
  • Objetivo final: obter uma expressão simplificada para \dfrac{du}{dt} em cada caso.

Passo 2

A regra da cadeia (caso padrão sem dependência explícita de t):
\frac{du}{dt}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{dy}{dt}.
Aqui \dfrac{\partial u}{\partial x} significa a derivada parcial de u em relação a x tratando y como constante, e \dfrac{\partial u}{\partial y} é análoga. Em palavras: a variação total de u vem da soma das variações de u quando x muda e quando y muda, cada uma multiplicada pela taxa com que essa variável muda no tempo.
Se u depende explicitamente de t (além de depender de x(t) e y(t)), a fórmula vira:
\frac{du}{dt}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial u}{\partial t},
onde \dfrac{\partial u}{\partial t} é a derivada parcial de u em relação ao t mantendo x e y fixos.
Antes de aplicar, lembre:
  • Ao calcular \dfrac{\partial}{\partial x} de uma expressão, trate y e t (se aparecer) como constantes.
  • Ao calcular \dfrac{d}{dt}x(t) e \dfrac{d}{dt}y(t), use derivadas usuais de funções de uma variável.
Agora aplicamos isso às três partes, passo a passo.

Passo 3

Função: u=y e^{x}+x e^{y}.
Calcule \dfrac{\partial u}{\partial x}: trate y como constante.
\frac{\partial}{\partial x}\big(y e^{x}\big)=y e^{x},\qquad \frac{\partial}{\partial x}\big(x e^{y}\big)=e^{y}.
Portanto
\frac{\partial u}{\partial x}=y e^{x}+e^{y}.
Calcule \dfrac{\partial u}{\partial y}: trate x como constante.
\frac{\partial}{\partial y}\big(y e^{x}\big)=e^{x},\qquad \frac{\partial}{\partial y}\big(x e^{y}\big)=x e^{y}.
Portanto
\frac{\partial u}{\partial y}=e^{x}+x e^{y}.

Passo 4

Dado x=\cos t e y=\sin t:
\frac{dx}{dt}=-\sin t,\qquad \frac{dy}{dt}=\cos t.
Aplicando a regra da cadeia:
\frac{du}{dt}=\left(y e^{x}+e^{y}\right)\left(-\sin t\right)+\left(e^{x}+x e^{y}\right)\left(\cos t\right).

Passo 5

Substituindo x=\cos t, y=\sin t, e^{x}=e^{\cos t} e e^{y}=e^{\sin t}:
\frac{du}{dt}=\big(\sin t\, e^{\cos t}+e^{\sin t}\big)(-\sin t)+\big(e^{\cos t}+\cos t\, e^{\sin t}\big)\cos t.
Se quiser expandir:
\frac{du}{dt}=-\sin^{2}t\, e^{\cos t}-\sin t\, e^{\sin t}+\cos t\, e^{\cos t}+\cos^{2}t\, e^{\sin t}.
Pode também agrupar termos por e^{\cos t} e e^{\sin t} se isso ajudar na leitura.

Passo 6

Função: u=\ln(xy)+y^{2}.
Primeiro observe que \ln(xy)=\ln x+\ln y quando x>0, y>0, mas é suficiente usar a regra da derivada de \ln em produto. Calcule:
\frac{\partial}{\partial x}\ln(xy)=\frac{1}{xy}\cdot y=\frac{1}{x}, \qquad \frac{\partial}{\partial x}y^{2}=0.
Portanto
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{1}{x}.
Agora \dfrac{\partial u}{\partial y}:
\frac{\partial}{\partial y}\ln(xy)=\frac{1}{xy}\cdot x=\frac{1}{y},\qquad \frac{\partial}{\partial y}y^{2}=2y.
Então
\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{1}{y}+2y.

Passo 7

Dado x=e^{t} e y=e^{-t}:
\frac{dx}{dt}=e^{t},\qquad \frac{dy}{dt}=-e^{-t}.
Aplicando a regra da cadeia:
\frac{du}{dt}=\frac{1}{x}e^{t}+\left(\frac{1}{y}+2y\right)(-e^{-t}).

Passo 8

Substituindo x=e^{t} e y=e^{-t}:
\frac{1}{x}=e^{-t},\qquad \frac{1}{y}=e^{t}.
Então
\frac{du}{dt}=e^{-t}e^{t}+\big(e^{t}+2e^{-t}\big)(-e^{-t}).
Calcule cada termo:
e^{-t}e^{t}=1,
\big(e^{t}+2e^{-t}\big)(-e^{-t})=-e^{t}e^{-t}-2e^{-t}e^{-t}=-1-2e^{-2t}.
Somando:
\frac{du}{dt}=1+(-1-2e^{-2t})=-2e^{-2t}.

Passo 9

Função: u=\dfrac{x+t}{y+t}. Aqui u depende explicitamente de t, então usamos a fórmula completa:
\frac{du}{dt}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial u}{\partial t}.
Calcule as derivadas parciais (tratando as outras variáveis como constantes):
  • \dfrac{\partial u}{\partial x}: derivando \dfrac{x+t}{y+t} em relação a x (fixando y,t):
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{1}{y+t}.
  • \dfrac{\partial u}{\partial y}: usar a regra do quociente com x+t constante:
\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{x+t}{(y+t)^{2}}.
  • \dfrac{\partial u}{\partial t}: derivando em relação a t com x,y constantes:
\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{(1)(y+t)-(x+t)(1)}{(y+t)^{2}}=\frac{y+t-x-t}{(y+t)^{2}}=\frac{y-x}{(y+t)^{2}}.

Passo 10

Dado x=\ln t e y=\ln\!\left(\dfrac{1}{t}\right). Observação útil: y=\ln(1/t)=-\ln t=-x. Derivadas:
\frac{dx}{dt}=\frac{1}{t},\qquad \frac{dy}{dt}=-\frac{1}{t}.
Aplicando a fórmula:
\frac{du}{dt}=\frac{1}{y+t}\cdot\frac{1}{t}+\left(-\frac{x+t}{(y+t)^{2}}\right)\left(-\frac{1}{t}\right)+\frac{y-x}{(y+t)^{2}}.

Passo 11

Colocando tudo sobre um denominador comum t(y+t)^{2} ou simplificando passo a passo:
Primeiro reescreva:
\frac{du}{dt}=\frac{1}{t(y+t)}+\frac{x+t}{t(y+t)^{2}}+\frac{y-x}{(y+t)^{2}}.
Colocando em denominador t(y+t)^{2}:
\frac{du}{dt}=\frac{y+t}{t(y+t)^{2}}+\frac{x+t}{t(y+t)^{2}}+\frac{t(y-x)}{t(y+t)^{2}}.
Numerador somado:
(y+t)+(x+t)+t(y-x)=(x+y)+2t+t(y-x).
Mas x+y=\ln t + (-\ln t)=0 e y-x=-2\ln t. Logo o numerador fica
2t+t(y-x)=2t+t(-2\ln t)=2t(1-\ln t).
Então
\frac{du}{dt}=\frac{2t(1-\ln t)}{t(y+t)^{2}}=\frac{2(1-\ln t)}{(y+t)^{2}}.
Substituindo y=-\ln t novamente para deixar em termos de t apenas:
y+t=t-\ln t,
portanto
\frac{du}{dt}=\frac{2(1-\ln t)}{(t-\ln t)^{2}}.

Resposta

\displaystyle \frac{du}{dt}=\big(\sin t\, e^{\cos t}+e^{\sin t}\big)(-\sin t)+\big(e^{\cos t}+\cos t\, e^{\sin t}\big)\cos t
\displaystyle \frac{du}{dt}=-2e^{-2t}
\displaystyle \frac{du}{dt}=\frac{2(1-\ln t)}{(t-\ln t)^{2}}

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