[ 2,5] Caso exista, calcular o limite
\Lambda=\lim _{(x, y) \rightarrow(\pi, 1)} \frac{1+\cos x}{y^{2}+y-2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite da função de duas variáveis
\Lambda=\lim_{(x,y)\to(\pi,1)}\frac{1+\cos x}{y^{2}+y-2}.
O conteúdo aqui é limites em várias variáveis, com forma indeterminada 0/0. Para resolver, vamos verificar o comportamento local de numerador e denominador e testar diferentes trajetórias de aproximação.

Passo 2

Substituindo diretamente (x,y)=(\pi,1), temos
1+\cos\pi = 1 + (-1) = 0,
e
1^{2} + 1 - 2 = 0.
Logo a expressão assume a forma indeterminada 0/0, o que exige um estudo mais fino usando aproximações ou caminhos de abordagem.

Passo 3

Fazemos as substituições locais x=\pi + h e y=1 + k, com h,k\to 0.
Isoladamente, para o numerador:
1+\cos x = 1+\cos(\pi+h) = 1 - \cos h \sim 1 - \bigl(1 - \tfrac{h^{2}}{2}\bigr) = \frac{h^{2}}{2}.
Para o denominador:
y^{2}+y-2 = (y-1)(y+2) = k\,(3+k) \sim 3k.
Portanto, perto de (\pi,1), a razão comporta-se como
\frac{1+\cos x}{y^{2}+y-2} \sim \frac{\tfrac{h^{2}}{2}}{3k} = \frac{h^{2}}{6\,k}.

Passo 4

Se o limite existisse, o quociente \tfrac{h^{2}}{6k} deveria tender a um mesmo valor para qualquer relação entre h e k. Mas, por exemplo:
  • Se escolhemos k = a\,h^{2} com constante a\neq 0, então \frac{h^{2}}{6k} = \frac{h^{2}}{6(a\,h^{2})} = \frac{1}{6a},que varia conforme a.
Diferentes valores de a produzem diferentes resultados, logo o limite depende da trajetória escolhida.

Resposta

O limite não existe, pois o valor da razão varia conforme o caminho de aproximação a (\pi,1).

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