[ 2,5 ] A eletrodinâmica clássica nos ensina que o vetor campo elétrico,
, é obtido do gradiente da função escalar do potencial,
, através da expressão
Seja o potencial elétrico de um fio infinito de densidade linear de carga
posicionado ao longo da direção
,
onde
denota a constante de permissividade do vácuo.
a.) Calcular o campo elétrico para os potencial
definido acima.
Consideremos agora os vetores
b.) Calcular as derivadas direcionais do potencial nas direções definidas por
e
.
c.) Vejamos agora os valores da derivada nas direções dadas por
e
no ponto (
). Como explicar a diferença dos valores das derivadas direcionais do potencial no mesmo ponto?
a.) Calcular o campo elétrico para os potencial
c.) Vejamos agora os valores da derivada nas direções dadas por
Passo 1
O enunciado dá o potencial de um fio infinito de carga linear
ao longo do eixo
:
e pede:
a) o campo elétrico ,
b) as derivadas direcionais de nas direções
e
,
c) os valores dessas derivadas em e por que são diferentes.
Vamos usar cálculo de gradiente e definição de derivada direcional.
a) o campo elétrico
b) as derivadas direcionais de
c) os valores dessas derivadas em
Vamos usar cálculo de gradiente e definição de derivada direcional.
Passo 2
Calcular
e, em seguida,
.
As derivadas parciais são
As derivadas parciais são
Logo
e
Passo 3
Derivada direcional em
é
.
As direções normalizadas são
As direções normalizadas são
Então, em ponto genérico
,
Passo 4
Avaliar em
. Aqui
, logo
Passo 5
A derivada direcional é a projeção do gradiente na direção escolhida. Como
não tem componente em
, a projeção em
(que “aponta” também em
) é menor do que em
, de modo que
no mesmo ponto.
Resposta
a)
b)
c)
Eles diferem porque a derivada direcional projeta
na direção escolhida, e direções distintas geram projeções de magnitudes diferentes.