[ 2,5] Dada a função
a.) Calcular as derivadas parciais
.
b.) Usar o resultado do item (a) para calcular as derivadas totais
O uso da regra da cadeia para uma variável não é permitido neste item.
b.) Usar o resultado do item (a) para calcular as derivadas totais
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede (a) todas as derivadas parciais até segunda ordem:
; e (b) usar essas derivadas parciais para obter as derivadas totais de
sem usar regra da cadeia univariada, mas sim tratando
com
. O conteúdo é derivação parcial e aplicação da regra da cadeia multivariável.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de primeira ordem.
Para tratamos
como constante e usamos
com
:
Para
Para
tratamos
como constante e usamos
com
,
:
Passo 3
Calcular
derivando
em relação a
:
Passo 4
Calcular
derivando
em relação a
. Usamos produto e que
:
Passo 5
Calcular o misto
derivando
em relação a
. Usamos produto e
:
Passo 6
Agora definimos
com
. A derivada total é
pois
. Substituindo:
logo
Passo 7
Para a segunda derivada total usamos
já que
e
. Substituindo as expressões em
:
Assim
Resposta
a.)
b.)