[ 2,5] Dada a função
z(x, y)=x^{e^{y}}
a.) Calcular as derivadas parciais z_{x}, z_{y}, z_{x x}, z_{y y}, z_{x y}.
b.) Usar o resultado do item (a) para calcular as derivadas totais
\frac{d\left(x^{e^{x}}\right)}{d x} \quad \text { e } \quad \frac{d^{2}\left(x^{e^{x}}\right)}{d x^{2}}
O uso da regra da cadeia para uma variável não é permitido neste item.

Passo 1

O enunciado dá a função
z(x,y)=x^{e^{y}}
e pede (a) todas as derivadas parciais até segunda ordem: z_{x},z_{y},z_{xx},z_{yy},z_{xy}; e (b) usar essas derivadas parciais para obter as derivadas totais de
u(x)=x^{e^{x}}
sem usar regra da cadeia univariada, mas sim tratando u(x)=z\bigl(x,y(x)\bigr) com y(x)=x. O conteúdo é derivação parcial e aplicação da regra da cadeia multivariável.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem.
Para z_{x} tratamos y como constante e usamos \frac{d}{dx}x^{a}=a\,x^{a-1} com a=e^{y}:
z_{x}(x,y) =e^{y}\,x^{\,e^{y}-1}.
Para z_{y} tratamos x como constante e usamos
\frac{d}{dy}x^{u}=x^{u}\ln(x)\,\frac{du}{dy} com u=e^{y}, \frac{du}{dy}=e^{y}:
z_{y}(x,y) =x^{\,e^{y}}\ln(x)\;e^{y}.

Passo 3

Calcular z_{xx} derivando z_{x}=e^{y}x^{e^{y}-1} em relação a x:
z_{xx}(x,y) =e^{y}\bigl(e^{y}-1\bigr)\,x^{\,e^{y}-2}.

Passo 4

Calcular z_{yy} derivando z_{y}=e^{y}\ln(x)\,x^{e^{y}} em relação a y. Usamos produto e que
\frac{d}{dy}x^{e^{y}}=x^{e^{y}}\ln(x)e^{y}:
z_{yy}(x,y) =e^{y}\ln(x)\,x^{e^{y}} \;+\;e^{y}\ln(x)\,\bigl(x^{e^{y}}\ln(x)e^{y}\bigr) =x^{e^{y}}\Bigl(e^{y}\ln(x)+e^{2y}\bigl(\ln(x)\bigr)^{2}\Bigr).

Passo 5

Calcular o misto z_{xy} derivando z_{x}=e^{y}x^{e^{y}-1} em relação a y. Usamos produto e
\frac{d}{dy}x^{e^{y}-1}=x^{e^{y}-1}\ln(x)e^{y}:
z_{xy}(x,y) =e^{y}x^{e^{y}-1} \;+\;e^{y}\bigl(x^{e^{y}-1}\ln(x)e^{y}\bigr) =e^{y}x^{e^{y}-1}\Bigl(1+e^{y}\ln(x)\Bigr).

Passo 6

Agora definimos u(x)=x^{e^{x}}=z\bigl(x,y(x)\bigr) com y(x)=x. A derivada total é
\frac{du}{dx} =z_{x}(x,x)\,+\,z_{y}(x,x)\,\frac{dy}{dx} =z_{x}(x,x)+z_{y}(x,x),
pois \tfrac{dy}{dx}=1. Substituindo:
z_{x}(x,x)=e^{x}x^{e^{x}-1}, \quad z_{y}(x,x)=e^{x}\ln(x)\,x^{e^{x}},
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\frac{du}{dx} =e^{x}x^{e^{x}-1} \;+\; e^{x}\ln(x)\,x^{e^{x}} =e^{x}x^{\,e^{x}-1}\Bigl(1+x\ln(x)\Bigr).

Passo 7

Para a segunda derivada total usamos
\frac{d^{2}u}{dx^{2}} =z_{xx}(x,x) +2\,z_{xy}(x,x) +z_{yy}(x,x),
já que \tfrac{dy}{dx}=1 e \tfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=0. Substituindo as expressões em y=x:
z_{xx}(x,x) =e^{x}(e^{x}-1)\,x^{e^{x}-2},\quad z_{xy}(x,x) =e^{x}x^{e^{x}-1}\bigl(1+e^{x}\ln(x)\bigr),
z_{yy}(x,x) =x^{e^{x}}\Bigl(e^{x}\ln(x)+e^{2x}(\ln(x))^{2}\Bigr).
Assim
\frac{d^{2}u}{dx^{2}} =e^{x}(e^{x}-1)\,x^{e^{x}-2} +2\,e^{x}x^{e^{x}-1}\bigl(1+e^{x}\ln(x)\bigr) +x^{e^{x}}\Bigl(e^{x}\ln(x)+e^{2x}(\ln(x))^{2}\Bigr).

Resposta

a.)
z_{x}=e^{y}x^{e^{y}-1}, \quad z_{y}=e^{y}\ln(x)\,x^{e^{y}},
z_{xx}=e^{y}(e^{y}-1)\,x^{e^{y}-2}, \quad z_{yy}=x^{e^{y}}\bigl(e^{y}\ln(x)+e^{2y}(\ln(x))^{2}\bigr),
z_{xy}=e^{y}x^{e^{y}-1}\bigl(1+e^{y}\ln(x)\bigr).
b.)
\frac{d}{dx}\bigl(x^{e^{x}}\bigr) =e^{x}x^{e^{x}-1}\bigl(1+x\ln(x)\bigr),
\frac{d^{2}}{dx^{2}}\bigl(x^{e^{x}}\bigr) =e^{x}(e^{x}-1)\,x^{e^{x}-2} +2\,e^{x}x^{e^{x}-1}\bigl(1+e^{x}\ln(x)\bigr) +x^{e^{x}}\bigl(e^{x}\ln(x)+e^{2x}(\ln(x))^{2}\bigr).

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