[5,0 pontos] Uma bomba radial possui as seguintes dimensões:
  • Diâmetro do rotor na saída =250[\mathrm{~mm}],
  • Largura da pá na saída =40[\mathrm{~mm}], \quad b
  • Diâmetro na entrada =125[\mathrm{~mm}],
  • Ângulo construtivo na entrada e na saída beta =25^{\circ}.
Considerando que o rotor opera com entrada sem choque, possui seção constante e rotação de 3600 [RPM], calcule a vazão, a altura de elevação (em mCA), a potência de eixo e a potência elétrica para um rotor de 10 pás de espessura 3 mm , cujo rendimento hidráulico é de 75 \%, rendimento volumétrico é de 95 \%, rendimento de atrito de disco é de 100 \%, rendimento mecânico é de 90 \% e rendimento elétrico é de 70 \%. Considere que esta bomba possui difusor com pás guias e adote \mathrm{g}=9,81 e a densidade de água de 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular a vazão Q.
  • Calcular a altura de elevação (mCA) H.
  • Calcular a potência de eixo P_{\text{eixo}}.
  • Calcular a potência elétrica P_{\text{el}}.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Diâmetro de saída D_2=250\\ \mathrm{mm}=0{,}250\\ \mathrm{m} \Rightarrow r_2=0{,}125\\ \mathrm{m}.
  • Largura da pá na saída b=40\\ \mathrm{mm}=0{,}04\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro de entrada D_1=125\\ \mathrm{mm}=0{,}125\\ \mathrm{m} \Rightarrow r_1=0{,}0625\\ \mathrm{m}.
  • Ângulo construtivo (entrada e saída) \beta=25^\circ.
  • Rotação N=3600\\ \mathrm{RPM}.
  • Número de pás n=10 e espessura de cada pá t=3\\ \mathrm{mm}=0{,}003\\ \mathrm{m}.
  • Rendimento hidráulico \eta_h=0{,}75.
  • Rendimento volumétrico \eta_v=0{,}95.
  • Rendimento por atrito de disco \eta_d=1{,}00 (ou seja, desprezível).
  • Rendimento mecânico \eta_m=0{,}90.
  • Rendimento elétrico \eta_e=0{,}70.
  • g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}, \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}.
Observação: o enunciado diz “entrada sem choque” — vou interpretar isso como ausência de pré-rotacão do fluido na entrada, ou seja c_{u1}=0. Também usarei a ideia de seção efetiva aberta no perímetro devido à espessura das pás: comprimento útil na circunferência =2\pi r - n t. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Expressões físicas e raciocínio para a vazão (passo-a-passo didático).
  • Continuidade (vazão ideal na seção de entrada):
Q_{\text{ideal}} = A_1\,c_m,
onde A_1 é a área meridional efetiva na entrada e c_m é a velocidade meridional (radial) do fluido, assumida constante pelo enunciado.
  • Área meridional efetiva na entrada: a seção ao longo da circunferência com largura b e descontando a espessura das pás:
A_1 = b\,(2\pi r_1 - n t).
Expliquei: 2\pi r_1 é o comprimento total da circunferência na entrada; as pás ocupam comprimento total n t; a porção aberta é o que dá passagem ao fluido.
  • Relação entre c_m e as velocidades periféricas usando a condição “entrada sem choque” ( c_{u1}=0) e a geometria do triângulo de velocidades no anel de entrada. Pela definição de ângulo \beta (ângulo entre a direção tangencial e a velocidade relativa ao rotor),
\tan\beta=\frac{c_m}{w_{u1}}\quad\Rightarrow\quad w_{u1}=\frac{c_m}{\tan\beta}.
Como c_{u1}=w_{u1}+u_1 (adição vetorial) e c_{u1}=0, tem-se w_{u1}=-u_1 em sinal; em módulo isso dá
\frac{c_m}{\tan\beta}=u_1 \quad\Rightarrow\quad c_m = u_1\tan\beta.
Portanto c_m pode ser obtido diretamente da velocidade periférica na entrada u_1=\omega r_1.
  • Finalmente a vazão real (considerando rendimento volumétrico) é
Q = \eta_v\,Q_{\text{ideal}} = \eta_v\,A_1\,c_m.

Passo 3

Cálculos numéricos intermédios para u_1, u_2, c_m e A_1.
  • Frequência angular:
\omega = \frac{2\pi N}{60} = \frac{2\pi\cdot3600}{60}=120\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx376{,}9911\\ \mathrm{rad/s}.
  • Velocidades periféricas:
u_1=\omega r_1=120\pi\cdot0{,}0625\\ \mathrm{m/s}=23{,}5619\\ \mathrm{m/s},
u_2=\omega r_2=120\pi\cdot0{,}125\\ \mathrm{m/s}=47{,}1239\\ \mathrm{m/s}.
  • Ângulo \beta=25^\circ, então \tan\beta\approx0{,}4663077.
  • Meridional:
c_m = u_1\tan\beta = 23{,}5619\cdot0{,}4663077 = 10{,}9839\\ \mathrm{m/s}.
  • Área efetiva na entrada (usei n=10 e t=0{,}003\\ \mathrm{m}):
A_1 = b\,(2\pi r_1 - n t) = 0{,}04\bigl(2\pi\cdot0{,}0625 - 10\cdot0{,}003\bigr).
Calculando internamente:
2\pi r_1 = 2\pi\cdot0{,}0625 = 0{,}3926991\\ \mathrm{m},
2\pi r_1 - n t = 0{,}3926991 - 0{,}03 = 0{,}3626991\\ \mathrm{m},
A_1 = 0{,}04\cdot0{,}3626991 = 0{,}01450796\\ \mathrm{m^2}.

Passo 4

Cálculo da vazão.
  • Vazão ideal:
Q_{\text{ideal}} = A_1\,c_m = 0{,}01450796\cdot10{,}9839 = 0{,}159518\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Aplicando rendimento volumétrico \eta_v=0{,}95:
Q = \eta_v\,Q_{\text{ideal}} = 0{,}95\cdot0{,}159518 = 0{,}151542\\ \mathrm{m^3/s}.
Interpretação rápida: isso dá cerca de 151{,}5\\ \mathrm{L/s}.

Passo 5

Relação de Euler para a altura teórica e inclusão do rendimento hidráulico.
  • A equação de Euler para bomba (trabalho por unidade de massa) é
\Delta h_{\text{Euler}} = \frac{u_2 c_{u2} - u_1 c_{u1}}{g}.
Com a hipótese de entrada sem pré-rotacão c_{u1}=0.
  • Determinar c_{u2}. No anel de saída, a componente tangencial da velocidade relativa é w_{u2}=\dfrac{c_m}{\tan\beta}. A velocidade absoluta tangencial é c_{u2}=w_{u2}+u_2. Observação útil: como w_{u2}=\dfrac{c_m}{\tan\beta}=u_1 (pela relação anterior), então
c_{u2}=u_1+u_2.
  • Portanto a altura teórica de Euler é
H_{\text{Euler}}=\frac{u_2(u_1+u_2)}{g}=\frac{u_2^2+u_1u_2}{g}.
  • Cálculo numérico:
u_2^2 = (47{,}1239)^2 = 2220{,}627\\ \mathrm{m^2/s^2},
u_1u_2 = 23{,}5619\cdot47{,}1239 = 1110{,}315\\ \mathrm{m^2/s^2},
u_2^2+u_1u_2 = 3330{,}942\\ \mathrm{m^2/s^2},
H_{\text{Euler}} = \frac{3330{,}942}{9{,}81} = 339{,}672\\ \mathrm{m}.
  • Aplicando o rendimento hidráulico \eta_h=0{,}75 para obter a altura real entregue pela bomba:
H = \eta_h\,H_{\text{Euler}} = 0{,}75\cdot339{,}672 = 254{,}754\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Cálculo da potência hidráulica e potências no eixo e elétrica (com explicação de cada etapa).
  • Potência hidráulica (energia útil transmitida ao fluido):
P_h = \rho g Q H.
Substituindo valores:
P_h = 1000\cdot9{,}81\cdot0{,}151542\cdot254{,}754 = 378{,}794\\ \mathrm{W}\approx378{,}8\\ \mathrm{kW}.
  • Potência no eixo requerida (considerando perdas mecânicas e atrito de disco). Como \eta_d=1{,}00 e \eta_m=0{,}90, a potência de eixo é:
P_{\text{eixo}}=\frac{P_h}{\eta_m\eta_d}=\frac{P_h}{0{,}90\cdot1{,}00}=\frac{378{,}794}{0{,}90}=420{,}882\\ \mathrm{W}\approx420{,}9\\ \mathrm{kW}.
Explicação: precisamos fornecer ao eixo potência suficiente para cobrir a potência hidráulica mais as perdas mecânicas; por isso divide-se pela eficiência mecânica.
  • Potência elétrica fornecida pela rede ao motor (considerando rendimento elétrico \eta_e=0{,}70):
P_{\text{el}}=\frac{P_{\text{eixo}}}{\eta_e}=\frac{420{,}882}{0{,}70}=601{,}260\\ \mathrm{W}\approx601{,}3\\ \mathrm{kW}.

Passo 7

Resumo e verificação rápida das unidades e ordens de grandeza.
  • Vazão Q em \mathrm{m^3/s} e também em \mathrm{L/s}: 0{,}1515\\ \mathrm{m^3/s}\approx151{,}5\\ \mathrm{L/s}.
  • Altura H em metros de coluna d’água (mCA): 254{,}754\\ \mathrm{m}.
  • Potências em kW com arredondamento coerente: hidráulica \sim378{,}8\\ \mathrm{kW}, eixo \sim420{,}9\\ \mathrm{kW}, elétrica \sim601{,}3\\ \mathrm{kW}.
  • Observação final: grandes valores de altura e potência aparecem porque a máquina roda muito rápido e tem raio pequeno (velocidades periféricas altas), o que é consistente fisicamente.

Resposta

Q = 0{,}151542\\ \mathrm{m^3/s}
H = 254{,}754\\ \mathrm{mCA}
P_{\text{eixo}} = 420{,}882\\ \mathrm{W}
P_{\text{el}} = 601{,}260\\ \mathrm{W}

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