[3,0 pontos] Uma bomba de uma estação de tratamento foi projetada para uma potência no eixo 550 kW , girando a uma rotação de 900 rpm e entregando uma altura de carga real de 50 mCA ao fluido. Desprezando a espessura das pás e sabendo que:
  • As pás são radiais na saída ( \beta_{2}=90 ); sem choque
  • A entrada no rotor é axial;
  • As eficiências hidráulica, mecânica e volumétrica são de 81 \%, 96 \% e 98 \% respectivamente e o fator deficiência de potência é 0,88 ;
  • A velocidade normal na saída do rotor é de 12,6 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e na entrada e de 10,0 \mathrm{m} / \mathrm{s};
  • As relações entre diâmetros de saída e entrada do rotor é de \mathrm{D} \_2 / \mathrm{D} \_1=1,7;
Calcule:
a) O ângulo de inclinação das pás na entrada do rotor;
b) O diâmetro de entrada e de saída do rotor;
c) A largura de entrada do rotor;
d) O grau de reação real desta bomba. do rotor.

Passo 1

O enunciado (resumindo e listando o que nos foi dado) e o que ele pede:
  • Dados fornecidos:
    • Potência no eixo projetada: 550\\ \text{kW}.
    • Rotação: 900\\ \text{rpm}.
    • Altura de carga real entregue ao fluido: H_{\text{real}}=50\\ \text{mCA}.
    • As pás são radiais na saída: \beta_2=90^\circ (sem choque).
    • Entrada no rotor é axial (logo o componente tangencial absoluto na entrada é nulo).
    • Eficiências: hidráulica \eta_h=81\% = 0{,}81, mecânica \eta_m=96\% = 0{,}96, volumétrica \eta_v=98\% = 0{,}98.
    • Fator deficiência de potência: k=0{,}88.
    • Velocidade normal (meridional) na saída: V_{n2}=12{,}6\\ \mathrm{m/s}.
    • Velocidade normal (meridional) na entrada: V_{n1}=10{,}0\\ \mathrm{m/s}.
    • Relação entre diâmetros: D_2/D_1 = 1{,}7.
    • Assumir água com \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3} e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
  • O que o enunciado pede:
    (a) O ângulo de inclinação das pás na entrada do rotor (ou seja, \beta_1).
    (b) O diâmetro de entrada D_1 e de saída D_2 do rotor.
    (c) A largura de entrada do rotor b_1.
    (d) O grau de reação real da bomba (grau de reação do rotor).
Observação importante (metodologia que vou adotar, mas sem resolver aqui): vou usar a equação de Euler para máquinas hidráulicas para relacionar velocidades tangenciais e a cabeça teórica; vou recuperar a cabeça teórica a partir da eficiência hidráulica; obter U_2 (velocidade periférica na saída) e daí os diâmetros a partir da rotação; usar continuidade para ligar a vazão Q às dimensões e velocidades meridionais; obter Q a partir da potência disponível e das eficiências; finalmente calcular \beta_1 a partir do triângulo de velocidades na entrada e o grau de reação a partir da relação entre energia total e variação de energia cinética. Vou explicar todas as fórmulas passo a passo.

Passo 2

Cálculo da cabeça teórica H_{\text{th}} (a partir da eficiência hidráulica) e relação com a velocidade periférica U_2.
  • Conceito: a eficiência hidráulica \eta_h relaciona a cabeça real entregue à cabeça teórica dada pela equação de Euler:
    \eta_h=\frac{H_{\text{real}}}{H_{\text{th}}}.
    Portanto
    H_{\text{th}}=\frac{H_{\text{real}}}{\eta_h}.
    Aqui H_{\text{real}} é a altura efetiva (em metros) que o fluido recebe; H_{\text{th}} é a altura teórica calculada pela equação de Euler (sem perdas hidráulicas).
  • Calcule:
    H_{\text{th}}=\frac{50}{0{,}81}=61{,}728395\\ \mathrm{m}.
  • Para pás radiais na saída e entrada axial (e sem choque na saída), a equação de Euler simplifica. A equação de Euler (em termos de altura) é
    H_{\text{th}}=\frac{U_2 V_{u2}-U_1 V_{u1}}{g},
    onde U é a velocidade periférica ( U=\omega r ou U=\pi n D/60), e V_{u} é a componente tangencial da velocidade absoluta do fluido. Aqui, com entrada axial, V_{u1}=0. Com pás radiais na saída ( \beta_2=90^\circ), a componente tangencial relativa é nula, o que implica V_{u2}=U_2. Assim:
    H_{\text{th}}=\frac{U_2\cdot U_2}{g}=\frac{U_2^2}{g}.
    Logo
    U_2=\sqrt{g\,H_{\text{th}}}.
  • Calcule U_2:
    U_2=\sqrt{9{,}81\cdot 61{,}728395}\approx 24{,}620\\ \mathrm{m/s}.
(Dica didática curta: a razão pela qual V_{u2}=U_2 é que, para pás radiais, a velocidade relativa na saída é puramente radial; somando a velocidade do rotor U_2 ao componente relativo tangencial nulo, a componente tangencial absoluta fica igual a U_2.)

Passo 3

Cálculo dos diâmetros D_2 e D_1.
  • Relação entre velocidade periférica e diâmetro: a velocidade periférica num diâmetro D é
    U=\omega R=\frac{2\pi n}{60}\cdot\frac{D}{2}=\frac{\pi n D}{60},
    portanto invertendo:
    D=\frac{60\,U}{\pi n}.
  • Calcule D_2 usando U_2 e n=900\\ \mathrm{rpm}:
    D_2=\frac{60\cdot 24{,}620}{\pi\cdot 900}\approx 0{,}5223\\ \mathrm{m}.
  • Como D_2/D_1=1{,}7,
    D_1=\frac{D_2}{1{,}7}\approx\frac{0{,}5223}{1{,}7}\approx 0{,}3072\\ \mathrm{m}.
  • Também útil (vamos usar adiante): as velocidades periféricas em cada seção:
    U_1=\frac{\pi n D_1}{60}\approx 14{,}48\\ \mathrm{m/s}.
    (confere que U_1=U_2\cdot(D_1/D_2)=24{,}62/1{,}7\approx 14{,}48\\ \mathrm{m/s}).

Passo 4

Determinar a vazão Q a partir da potência no eixo e das eficiências.
  • Conceito de potências e eficiências (modelo adotado):
    • A potência no eixo P_{\text{shaft}}=550\\ \mathrm{kW} é a potência entregue ao eixo.
    • Parte dessa potência se perde mecanicamente (rolamentos, vedação etc.); a eficiência mecânica \eta_m indica a fração que efetivamente vai para o rotor: P_{\text{rotor}}=\eta_m P_{\text{shaft}}.
    • A potência hidráulica útil fornecida ao fluido (potência hidráulica efetiva) é aquela que transforma fluxo e queda em energia: P_{\text{hyd}}=\rho g Q H_{\text{real}}.
    • Há perdas volumétricas (vazamentos) que reduzem a vazão disponível; por isso usamos a eficiência volumétrica \eta_v.
    • Além disso foi dado um fator deficiência de potência k=0{,}88 (reduz o aproveitamento efetivo). No problema não é explicitado um modelo alternativo, então adotamos a aproximação usual em problemas didáticos: a potência hidráulica efetiva disponível é a potência do eixo multiplicada pelas eficiências e pelo fator de deficiência, isto é
      P_{\text{hyd}} \approx P_{\text{shaft}}\cdot \eta_m \cdot \eta_h \cdot \eta_v \cdot k.
      Essa hipótese corresponde a considerar que as perdas mecânicas, hidráulicas, volumétricas e o fator de deficiência reduzem multiplicativamente a potência do eixo disponível para gerar a potência hidráulica medida (esta é uma forma prática e comum em exercícios de projeto quando se dão todas essas eficiências).
    • Então, isolando Q:
      Q=\frac{P_{\text{hyd}}}{\rho g H_{\text{real}}} =\frac{P_{\text{shaft}}\cdot \eta_m \cdot \eta_h \cdot \eta_v \cdot k}{\rho g H_{\text{real}}}.
  • Cálculo numérico:
    \eta_{\text{prod}}=\eta_m\cdot\eta_h\cdot\eta_v\cdot k =0{,}96\cdot 0{,}81\cdot 0{,}98\cdot 0{,}88\approx 0{,}6700.
P_{\text{hyd}}=550000\cdot 0{,}6700\approx 368{,}501\\ \mathrm{W}.
Q=\frac{368{,}501}{1000\cdot 9{,}81\cdot 50}\approx 0{,}7513\\ \mathrm{m^3/s}.
(Comentário motivador: essa vazão é razoável para uma bomba industrial com esses diâmetros e potências — o valor resulta da combinação da potência disponível e das eficiências.)

Passo 5

Cálculo da largura de entrada do rotor b_1 (largura axial/meridional na seção de entrada).
  • Fórmula de continuidade (seção cilíndrica do rotor): a área pelo qual o fluido passa à entrada é A_1=\pi D_1 b_1 (circunferência média \pi D_1 multiplicada pela largura b_1). A vazão é Q=A_1 V_{n1}, isto é:
    Q=\pi D_1 b_1 V_{n1}.
    Isolando b_1:
    b_1=\frac{Q}{\pi D_1 V_{n1}}.
  • Numérico (usar V_{n1}=10{,}0\\ \mathrm{m/s}, D_1 do Passo 3, Q do Passo 4):
    b_1=\frac{0{,}7513}{\pi\cdot 0{,}3072\cdot 10{,}0}\approx 0{,}0779\\ \mathrm{m}.
    Ou seja, aproximadamente 7{,}79\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Cálculo do ângulo de inclinação das pás na entrada \beta_1.
  • Física e triângulo de velocidades (explicação didática): no plano transversal à rotação definimos três velocidades no ponto de entrada:
    • V_1 é a velocidade absoluta do fluido (aqui axial/meridional; componente tangencial V_{u1}=0 porque a entrada é axial).
    • U_1 é a velocidade periférica da pá (linear, tangencial) na seção de entrada.
    • W_1 é a velocidade relativa do fluido em relação à pá: \vec{W}_1=\vec{V}_1-\vec{U}_1.
      O ângulo \beta_1 é o ângulo entre a direção tangencial (direção de U_1) e o vetor relativo \vec{W}_1. Geometricamente, para entrada axial:
    \tan\beta_1=\frac{\text{componente meridional }V_{n1}}{\text{componente tangencial relativa }U_1},
    porque a componente tangencial da velocidade absoluta é zero. Assim
    \beta_1=\arctan\!\left(\frac{V_{n1}}{U_1}\right).
  • Calcule U_1 (relembrando):
    U_1=\frac{\pi n D_1}{60}\approx 14{,}48\\ \mathrm{m/s}.
  • Calcule \beta_1:
    \beta_1=\arctan\!\left(\frac{10{,}0}{14{,}48}\right) \approx \arctan(0{,}6905)\approx 34{,}7^\circ.
(Interpretação prática: as pás na entrada devem estar inclinadas de cerca de 34{,}7^\circ em relação à tangente da circunferência, apontando para acomodar a velocidade relativa que tem componente axial V_{n1} e tangencial relativa U_1.)

Passo 7

Cálculo do grau de reação real da bomba.
  • Definição (clara): o grau de reação R do rotor é a fração da elevação de energia (em termos de energia estática) que ocorre no rotor em relação ao total ganho entre entrada e saída do conjunto (rotor + difusor). Em termos de energia por unidade de massa:
    R=\frac{\Delta h_{\text{estática, rotor}}}{\Delta h_{\text{estática, total}}}.áá
    Onde \Delta h_{\text{estática, total}}=g H_{\text{real}}á (porque H_{\text{real}} é a altura real total fornecida ao fluido) e a variação de energia estática no rotor é a variação da entalpia total diminuída da variação de energia cinética:
    \Delta h_{\text{estática, rotor}}=\Delta h_{0,\text{rotor}}-\tfrac{1}{2}\bigl(V_2^2-V_1^2\bigr),á
    mas \Delta h_{0,\text{rotor}}=g H_{\text{th}} (trabalho de Euler por unidade de massa).
    Portanto
    R=\frac{g H_{\text{th}}-\tfrac{1}{2}\bigl(V_2^2-V_1^2\bigr)}{g H_{\text{real}}}.
  • Atenção às velocidades usadas: V_1 e V_2 são as velocidades absolutas (módulos) do fluido nas respectivas seções. No caso:
    • Na entrada: V_1 é meridional puro (axial) com V_1=V_{n1}=10{,}0\\ \mathrm{m/s} porque V_{u1}=0.
    • Na saída: V_2 tem componente meridional V_{n2}=12{,}6\\ \mathrm{m/s} e componente tangencial V_{u2}=U_2 (porque pás radiais), portanto V_2^2=V_{n2}^2+V_{u2}^2=V_{n2}^2+U_2^2.
  • Cálculo numérico:
    • Primeiro calcule V_2^2-V_1^2: V_2^2-V_1^2=(12{,}6)^2 + (24{,}620)^2 - (10{,}0)^2.Valores: (12{,}6)^2=158{,}76,\quad (24{,}620)^2\approx 605{,}999,\quad (10{,}0)^2=100.
V_2^2-V_1^2\approx 158{,}76 + 605{,}999 - 100 \approx 664{,}759.
Metade:
\[\tfrac{1}{2}\bigl(V_2^2-V_1^2\bigr)\approx 332{,}379\\ \mathrm{(m^2/s^2)}.\]
  • g H_{\text{th}}=U_2^2\approx 605{,}999\\ \mathrm{(m^2/s^2)}.
  • g H_{\text{real}}=9{,}81\cdot 50=490{,}5\\ \mathrm{(m^2/s^2)}.
  • Finalmente:
    R=\frac{605{,}999 - 332{,}379}{490{,}5}\approx\frac{273{,}620}{490{,}5}\approx 0{,}558.
  • Interpretação: o grau de reação real da bomba é aproximadamente 0{,}558 (ou 55{,}8\%), o que significa que cerca de 55{,}8\% da elevação de pressão/energia estática total ocorre dentro do rotor; o restante ocorre no difusor/estator.

Resposta

(a) \beta_1 \approx 34{,}7^\circ
(b) D_1 \approx 0{,}307\\ \mathrm{m} \
D_2 \approx 0{,}522\\ \mathrm{m}
(c) b_1 \approx 0{,}0779\\ \mathrm{m}
(d) Grau de reação R \approx 0{,}558

Exercícios relacionados