[3,0 pontos] Uma bomba de uma estação de tratamento foi projetada para uma potência no eixo 550 kW , girando a uma rotação de 900 rpm e entregando uma altura de carga real de 50 mCA ao fluido. Desprezando a espessura das pás e sabendo que:
- As pás são radiais na saída (
); sem choque
- A entrada no rotor é axial;
- As eficiências hidráulica, mecânica e volumétrica são de
e
respectivamente e o fator deficiência de potência é 0,88 ;
- A velocidade normal na saída do rotor é de
e na entrada e de 10,0
;
- As relações entre diâmetros de saída e entrada do rotor é de
;
Calcule:
a) O ângulo de inclinação das pás na entrada do rotor;
b) O diâmetro de entrada e de saída do rotor;
c) A largura de entrada do rotor;
d) O grau de reação real desta bomba. do rotor.
a) O ângulo de inclinação das pás na entrada do rotor;
b) O diâmetro de entrada e de saída do rotor;
c) A largura de entrada do rotor;
d) O grau de reação real desta bomba. do rotor.
Passo 1
O enunciado (resumindo e listando o que nos foi dado) e o que ele pede:
-
Dados fornecidos:
- Potência no eixo projetada:
. - Rotação:
. - Altura de carga real entregue ao fluido:
. - As pás são radiais na saída:
(sem choque). - Entrada no rotor é axial (logo o componente tangencial absoluto na entrada é nulo).
- Eficiências: hidráulica
, mecânica , volumétrica . - Fator deficiência de potência:
. - Velocidade normal (meridional) na saída:
. - Velocidade normal (meridional) na entrada:
. - Relação entre diâmetros:
. - Assumir água com
e .
- Potência no eixo projetada:
-
O que o enunciado pede:
(a) O ângulo de inclinação das pás na entrada do rotor (ou seja,).
(b) O diâmetro de entradae de saída do rotor.
(c) A largura de entrada do rotor.
(d) O grau de reação real da bomba (grau de reação do rotor).
Observação importante (metodologia que vou adotar, mas sem resolver aqui): vou usar a equação de Euler para máquinas hidráulicas para relacionar velocidades tangenciais e a cabeça teórica; vou recuperar a cabeça teórica a partir da eficiência hidráulica; obter
(velocidade periférica na saída) e daí os diâmetros a partir da rotação; usar continuidade para ligar a vazão
às dimensões e velocidades meridionais; obter
a partir da potência disponível e das eficiências; finalmente calcular
a partir do triângulo de velocidades na entrada e o grau de reação a partir da relação entre energia total e variação de energia cinética. Vou explicar todas as fórmulas passo a passo.
Passo 2
Cálculo da cabeça teórica
(a partir da eficiência hidráulica) e relação com a velocidade periférica
.
-
Conceito: a eficiência hidráulica
relaciona a cabeça real entregue à cabeça teórica dada pela equação de Euler: PortantoAquié a altura efetiva (em metros) que o fluido recebe; é a altura teórica calculada pela equação de Euler (sem perdas hidráulicas). -
Calcule:
-
Para pás radiais na saída e entrada axial (e sem choque na saída), a equação de Euler simplifica. A equação de Euler (em termos de altura) éonde
é a velocidade periférica ( ou ), e é a componente tangencial da velocidade absoluta do fluido. Aqui, com entrada axial, . Com pás radiais na saída ( ), a componente tangencial relativa é nula, o que implica . Assim: Logo -
Calcule
:
(Dica didática curta: a razão pela qual
é que, para pás radiais, a velocidade relativa na saída é puramente radial; somando a velocidade do rotor
ao componente relativo tangencial nulo, a componente tangencial absoluta fica igual a
.)
Passo 3
Cálculo dos diâmetros
e
.
-
Relação entre velocidade periférica e diâmetro: a velocidade periférica num diâmetro
é portanto invertendo: -
Calcule
usando e : -
Como
, -
Também útil (vamos usar adiante): as velocidades periféricas em cada seção:(confere que
).
Passo 4
Determinar a vazão
a partir da potência no eixo e das eficiências.
-
Conceito de potências e eficiências (modelo adotado):
-
A potência no eixo
é a potência entregue ao eixo. -
Parte dessa potência se perde mecanicamente (rolamentos, vedação etc.); a eficiência mecânica
indica a fração que efetivamente vai para o rotor: . -
A potência hidráulica útil fornecida ao fluido (potência hidráulica efetiva) é aquela que transforma fluxo e queda em energia:
. -
Há perdas volumétricas (vazamentos) que reduzem a vazão disponível; por isso usamos a eficiência volumétrica
. -
Além disso foi dado um fator deficiência de potência
(reduz o aproveitamento efetivo). No problema não é explicitado um modelo alternativo, então adotamos a aproximação usual em problemas didáticos: a potência hidráulica efetiva disponível é a potência do eixo multiplicada pelas eficiências e pelo fator de deficiência, isto é Essa hipótese corresponde a considerar que as perdas mecânicas, hidráulicas, volumétricas e o fator de deficiência reduzem multiplicativamente a potência do eixo disponível para gerar a potência hidráulica medida (esta é uma forma prática e comum em exercícios de projeto quando se dão todas essas eficiências). -
Então, isolando
:
-
-
Cálculo numérico:
(Comentário motivador: essa vazão é razoável para uma bomba industrial com esses diâmetros e potências — o valor resulta da combinação da potência disponível e das eficiências.)
Passo 5
Cálculo da largura de entrada do rotor
(largura axial/meridional na seção de entrada).
-
Fórmula de continuidade (seção cilíndrica do rotor): a área pelo qual o fluido passa à entrada é
(circunferência média multiplicada pela largura ). A vazão é , isto é: Isolando: -
Numérico (usar
, do Passo 3, do Passo 4): Ou seja, aproximadamente.
Passo 6
Cálculo do ângulo de inclinação das pás na entrada
.
-
Física e triângulo de velocidades (explicação didática): no plano transversal à rotação definimos três velocidades no ponto de entrada:
-
é a velocidade absoluta do fluido (aqui axial/meridional; componente tangencial porque a entrada é axial). -
é a velocidade periférica da pá (linear, tangencial) na seção de entrada. -
é a velocidade relativa do fluido em relação à pá: .
O ânguloé o ângulo entre a direção tangencial (direção de ) e o vetor relativo . Geometricamente, para entrada axial:
porque a componente tangencial da velocidade absoluta é zero. Assim -
-
Calcule
(relembrando): -
Calcule
:
(Interpretação prática: as pás na entrada devem estar inclinadas de cerca de
em relação à tangente da circunferência, apontando para acomodar a velocidade relativa que tem componente axial
e tangencial relativa
.)
Passo 7
Cálculo do grau de reação real da bomba.
-
Definição (clara): o grau de reação
do rotor é a fração da elevação de energia (em termos de energia estática) que ocorre no rotor em relação ao total ganho entre entrada e saída do conjunto (rotor + difusor). Em termos de energia por unidade de massa: Onde(porque é a altura real total fornecida ao fluido) e a variação de energia estática no rotor é a variação da entalpia total diminuída da variação de energia cinética: mas(trabalho de Euler por unidade de massa). Portanto -
Atenção às velocidades usadas:
e são as velocidades absolutas (módulos) do fluido nas respectivas seções. No caso: - Na entrada:
é meridional puro (axial) com porque . - Na saída:
tem componente meridional e componente tangencial (porque pás radiais), portanto
- Na entrada:
-
Cálculo numérico:
- Primeiro calcule
: Valores:
- Primeiro calcule
Metade:
\[\tfrac{1}{2}\bigl(V_2^2-V_1^2\bigr)\approx 332{,}379\\ \mathrm{(m^2/s^2)}.\]
-
. -
. -
Finalmente:
-
Interpretação: o grau de reação real da bomba é aproximadamente
(ou ), o que significa que cerca de da elevação de pressão/energia estática total ocorre dentro do rotor; o restante ocorre no difusor/estator.
Resposta
(a)
(b)
\
(c)
(d) Grau de reação