([5 ptos.] cada ítem) Analizar la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones. Justificar
Si \mathbf{F}: \mathbf{R}^{2} \rightarrow \mathbf{R}^{3} es una aplicación lineal talque \mathbf{F}((1,0))=(1,0,-1) y \mathbf{F}((0,1))=(2,0,-2) entonces \mathbf{F} es inyectiva.
Passo 1
O enunciado pergunta se a afirmação “a transformação linear \mathbf{F}:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R}^3 é injetiva” é verdadeira ou falsa, dado que:
\mathbf{F}((1,0))=(1,0,-1)
e
\mathbf{F}((0,1))=(2,0,-2).
Lista das informações dadas:
\mathbf{F} é linear.
Imagens das duas vetores padrão da origem: \mathbf{F}((1,0)) e \mathbf{F}((0,1)) estão especificadas.
A pergunta concreta: com essas informações, \mathbf{F} é injetiva?
Passo 2
Vou lembrar o conceito que precisamos usar: definição de injetividade para aplicações lineares e sua relação com o núcleo.
Definição: \mathbf{F} é injetiva se, e somente se, para todo vetor \mathbf{v}\in\mathbf{R}^2, \mathbf{F}(\mathbf{v})=\mathbf{0} implica \mathbf{v}=\mathbf{0}. O conjunto dos vetores que vão para o zero chama-se núcleo:
Fato importante (útil na prova): \mathbf{F} é injetiva se, e somente se, \ker(\mathbf{F})=\{\mathbf{0}\}. Então basta checar se existe algum vetor não nulo em \ker(\mathbf{F}).
Passo 3
Como \mathbf{F} é linear, a sua representação matricial na base canônica de \mathbf{R}^2 e \mathbf{R}^3 tem as imagens de (1,0) e (0,1) como colunas. Logo a matriz A associada a \mathbf{F} é
onde a primeira coluna é \mathbf{F}((1,0)) e a segunda coluna é \mathbf{F}((0,1)).]
Passo 4
Agora verificamos se as colunas são linearmente independentes. Observação direta:
(2,0,-2)=2\,(1,0,-1).
Isso mostra que a segunda coluna é exatamente 2 vezes a primeira coluna. Portanto as colunas são linearmente dependentes e a imagem de \mathbf{F} é uma reta (subespaço unidimensional) em \mathbf{R}^3. Como o domínio tem dimensão 2, o posto (rank) da matriz é 1<2.
Passo 5
Usando a relação posto/núcleo (Teorema da dimensão): para uma aplicação linear \mathbf{F}:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R}^3,
Aqui \operatorname{rank}(A)=1, logo \dim(\ker(\mathbf{F}))=1. Assim o núcleo contém vetores não-nulos, logo \ker(\mathbf{F})\neq\{\mathbf{0}\}, e \mathbf{F} não é injetiva.
Passo 6
Podemos também apresentar explicitamente um vetor não-nulo do núcleo. Procuramos (x,y)\neq(0,0)\) tal que
\[x\,(1,0,-1)+y\,(2,0,-2)=(0,0,0).
Isso gera o sistema (da primeira e terceira componentes)
\begin{cases} x+2y=0,\\[4pt] -x-2y=0, \end{cases}
que é a mesma equação repetida. Daqui x=-2y\]. Tomando \(y=1 obtemos x=-2, ou seja (-2,1) é um vetor não-nulo em \ker(\mathbf{F}). De fato,
Isso confirma explicitamente que \mathbf{F} não é injetiva.]
Passo 7
Interpretação geométrica rápida (para fixar): as duas imagens dadas são vetores colineares em \mathbf{R}^3, então toda a imagem de \mathbf{R}^2 por \mathbf{F} fica comprimida numa reta. Como dois vetores do plano são enviados para a mesma direção, várias direções do plano colapsam para o mesmo ponto na imagem — daí a falta de injetividade.