Classifique as seguintes afirmações como Verdadeiras (V) ou Falsas (F). Justifique brevemente as falsas.
() Se
e
são matrizes quadradas de mesma ordem
, então
.
() Para quaisquer matrizes
e
de mesmas dimensões,
.
() Se
é uma matriz
e
é uma matriz
, então o produto
é uma matriz de ordem
.
( ) A soma de uma matriz com sua transposta
é sempre uma matriz simétrica.
() Se
(onde
é a matriz identidade), então
ou
.
() Se
() Para quaisquer matrizes
() Se
( ) A soma de uma matriz com sua transposta
() Se
Passo 1
O enunciado pede que eu classifique cinco afirmações como Verdadeiras (V) ou Falsas (F) e, quando forem falsas, justifique brevemente. As cinco afirmações são, na ordem que aparecem no enunciado:
- Se
e são matrizes quadradas de mesma ordem , então . - Para quaisquer matrizes
e de mesmas dimensões, . - Se
é uma matriz e é uma matriz , então o produto é uma matriz de ordem . - A soma de uma matriz com sua transposta
é sempre uma matriz simétrica. - Se
(onde é a matriz identidade), então ou .
Informações relevantes dadas: cada frase é uma proposição sobre operações com matrizes (multiplicação, transposição, soma) ou sobre a equação matricial
. Agora vou analisar cada afirmação passo a passo, explicando os conceitos envolvidos e justificando as falsas.
Passo 2
Analisando a afirmação 1: “Se
e
são matrizes quadradas de mesma ordem
, então
.”
Conceito necessário (explicado): a multiplicação de matrizes é, em geral, não comutativa. Isso significa que, mesmo quando
e
são ambas
, normalmente
. A razão curta é que a entrada
de
é a soma dos produtos da i-ésima linha de
com a j-ésima coluna de
, enquanto a entrada
de
é soma dos produtos da i-ésima linha de
com a j-ésima coluna de
; não há motivo geral para essas somas coincidirem.
Exemplo concreto (contraexemplo): escolho duas matrizes
Calculemos
e
.
Cálculo de
:
Cálculo de
:
Perceba que
. Portanto a afirmação 1 é falsa.]
Passo 3
Analisando a afirmação 2: “Para quaisquer matrizes
e
de mesmas dimensões,
.”
Conceito necessário (explicado): a transposição de uma matriz troca linhas por colunas; a transposição é uma operação linear, ou seja, preserva soma e multiplicação por escalar. Em termos de entradas: se
e
, então
. Para a transposta,
. Isso mostra a identidade elemento a elemento.
Demonstração curta com índices: para todo
,
logo
.
Portanto a afirmação 2 é verdadeira.
Passo 4
Analisando a afirmação 3: “Se
é uma matriz
e
é uma matriz
, então o produto
é uma matriz de ordem
.”
Conceito necessário (explicado): regra geral de dimensões para produto de matrizes: se
tem dimensão
e
tem dimensão
, então o produto
está definido e tem dimensão
. Aqui temos
,
,
. Assim o produto
existe e tem dimensão
.
Portanto a afirmação 3 é verdadeira.
Passo 5
Analisando a afirmação 4: “A soma de uma matriz com sua transposta
é sempre uma matriz simétrica.”
Conceito necessário (explicado): uma matriz
é simétrica se
. Vamos verificar
.
Cálculo:
onde usei que
(já visto) e que
. Como a transposta da soma é igual à própria soma, a soma é simétrica.
Portanto a afirmação 4 é verdadeira.
Passo 6
Analisando a afirmação 5: “Se
(onde
é a matriz identidade), então
ou
.”
Conceito necessário (explicado): a condição
diz que
é involutória. Em termos de autovalores (uma ideia útil, mas a explicação vai ser leve): se
é um autovetor de
com autovalor
, então
. Como
, isso implica
, então
. Logo os autovalores possíveis são
ou
. Nada exige, porém, que todos os autovalores sejam todos
ou todos
:
pode ter uma mistura de autovalores
e
, e então
não é nem
nem
.
Contraexemplo simples: a reflexão em torno do eixo
em
é dada por
Verifiquemos:
porém
e
. Logo a afirmação é falsa.
Observação didática final: as soluções de
são exatamente as matrizes involutórias; elas são mais gerais que apenas
. Em termos de diagonalização, quando possível,
é diagonalizável com diagonais formadas por
e
, mas isso permite combinações.]
Resposta
() F
() V
() V
() V
() F
() V
() V
() V
() F