Classifique as seguintes afirmações como Verdadeiras (V) ou Falsas (F). Justifique brevemente as falsas.
() Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem n \times n, então A B=B A.
() Para quaisquer matrizes A e B de mesmas dimensões, (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}.
() Se A é uma matriz 2 \times 3 e B é uma matriz 3 \times 2, então o produto A B é uma matriz de ordem 2 \times 2.
( ) A soma de uma matriz com sua transposta \left(A+A^{T}\right) é sempre uma matriz simétrica.
() Se A^{2}=I (onde I é a matriz identidade), então A=I ou A=-I.

Passo 1

O enunciado pede que eu classifique cinco afirmações como Verdadeiras (V) ou Falsas (F) e, quando forem falsas, justifique brevemente. As cinco afirmações são, na ordem que aparecem no enunciado:
  1. Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem n\times n, então AB=BA.
  2. Para quaisquer matrizes A e B de mesmas dimensões, (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}.
  3. Se A é uma matriz 2\times 3 e B é uma matriz 3\times 2, então o produto AB é uma matriz de ordem 2\times 2.
  4. A soma de uma matriz com sua transposta \bigl(A+A^{T}\bigr) é sempre uma matriz simétrica.
  5. Se A^{2}=I (onde I é a matriz identidade), então A=I ou A=-I.
Informações relevantes dadas: cada frase é uma proposição sobre operações com matrizes (multiplicação, transposição, soma) ou sobre a equação matricial A^{2}=I. Agora vou analisar cada afirmação passo a passo, explicando os conceitos envolvidos e justificando as falsas.

Passo 2

Analisando a afirmação 1: “Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem n\times n, então AB=BA.”
Conceito necessário (explicado): a multiplicação de matrizes é, em geral, não comutativa. Isso significa que, mesmo quando A e B são ambas n\times n, normalmente AB\neq BA. A razão curta é que a entrada (i,j) de AB é a soma dos produtos da i-ésima linha de A com a j-ésima coluna de B, enquanto a entrada (i,j) de BA é soma dos produtos da i-ésima linha de B com a j-ésima coluna de A; não há motivo geral para essas somas coincidirem.
Exemplo concreto (contraexemplo): escolho duas matrizes 2\times2
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Calculemos AB e BA.
Cálculo de AB:
AB=\begin{pmatrix} 0\cdot 0 + 1\cdot 1 & 0\cdot 0 + 1\cdot 0\\[4pt] 0\cdot 0 + 0\cdot 1 & 0\cdot 0 + 0\cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Cálculo de BA:
BA=\begin{pmatrix} 0\cdot 0 + 0\cdot 0 & 0\cdot 1 + 0\cdot 0\\[4pt] 1\cdot 0 + 0\cdot 0 & 1\cdot 1 + 0\cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Perceba que AB\neq BA. Portanto a afirmação 1 é falsa.]

Passo 3

Analisando a afirmação 2: “Para quaisquer matrizes A e B de mesmas dimensões, (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}.”
Conceito necessário (explicado): a transposição de uma matriz troca linhas por colunas; a transposição é uma operação linear, ou seja, preserva soma e multiplicação por escalar. Em termos de entradas: se C=A+B e C=(c_{ij}), então c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}. Para a transposta, (C^{T})_{ij}=c_{ji}=a_{ji}+b_{ji}=(A^{T})_{ij}+(B^{T})_{ij}. Isso mostra a identidade elemento a elemento.
Demonstração curta com índices: para todo i,j,
\bigl(A+B\bigr)^{T}_{ij}=(A+B)_{ji}=A_{ji}+B_{ji}=(A^{T})_{ij}+(B^{T})_{ij},
logo (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}.
Portanto a afirmação 2 é verdadeira.

Passo 4

Analisando a afirmação 3: “Se A é uma matriz 2\times 3 e B é uma matriz 3\times 2, então o produto AB é uma matriz de ordem 2\times 2.”
Conceito necessário (explicado): regra geral de dimensões para produto de matrizes: se A tem dimensão m\times p e B tem dimensão p\times n, então o produto AB está definido e tem dimensão m\times n. Aqui temos m=2, p=3, n=2. Assim o produto AB existe e tem dimensão 2\times 2.
Portanto a afirmação 3 é verdadeira.

Passo 5

Analisando a afirmação 4: “A soma de uma matriz com sua transposta \bigl(A+A^{T}\bigr) é sempre uma matriz simétrica.”
Conceito necessário (explicado): uma matriz M é simétrica se M^{T}=M. Vamos verificar \bigl(A+A^{T}\bigr)^{T}.
Cálculo:
\bigl(A+A^{T}\bigr)^{T}=A^{T}+\bigl(A^{T}\bigr)^{T}=A^{T}+A=A+A^{T},
onde usei que (X+Y)^{T}=X^{T}+Y^{T} (já visto) e que \bigl(A^{T}\bigr)^{T}=A. Como a transposta da soma é igual à própria soma, a soma é simétrica.
Portanto a afirmação 4 é verdadeira.

Passo 6

Analisando a afirmação 5: “Se A^{2}=I (onde I é a matriz identidade), então A=I ou A=-I.”
Conceito necessário (explicado): a condição A^{2}=I diz que A é involutória. Em termos de autovalores (uma ideia útil, mas a explicação vai ser leve): se v é um autovetor de A com autovalor \lambda, então A^{2}v=\lambda^{2}v. Como A^{2}=I, isso implica \lambda^{2}=1, então \lambda=\pm 1. Logo os autovalores possíveis são 1 ou -1. Nada exige, porém, que todos os autovalores sejam todos 1 ou todos -1: A pode ter uma mistura de autovalores 1 e -1, e então A não é nem I nem -I.
Contraexemplo simples: a reflexão em torno do eixo x em \mathbb{R}^{2} é dada por
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}.
Verifiquemos:
A^{2}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=I,
porém A\neq I e A\neq -I. Logo a afirmação é falsa.
Observação didática final: as soluções de A^{2}=I são exatamente as matrizes involutórias; elas são mais gerais que apenas \pm I. Em termos de diagonalização, quando possível, A é diagonalizável com diagonais formadas por 1 e -1, mas isso permite combinações.]

Resposta

() F
() V
() V
() V
() F

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