O enunciado pergunta: qual é o maior número real \alpha tal que, sempre que 0<|x-1|<\alpha, então |f(x)-1|<1. Em outras palavras, queremos o maior raio \alpha de vizinhança ao redor de x=1 (excluindo o próprio x=1) em que os valores de f(x) ficam dentro da distância 1 de 1 — isto é, f(x) fica dentro do intervalo (0,2).
Informações relevantes extraídas: a expressão para f(x) é diferente à esquerda e à direita de x=1; portanto precisamos analisar separadamente o comportamento para x<1 e para x>1. Observe também que a condição usa 0<|x-1|<\alpha, logo não precisamos considerar o valor f(1)=2 (pois x=1 está excluído).]
Passo 2
Primeira observação útil: simplificar a expressão de f(x)\) para \(x>1\). Para \(x\neq1\),
\[\frac{x^{4}-x^{3}}{x-1}=\frac{x^{3}(x-1)}{x-1}=x^{3}.
sempre lembrando que estamos interessados apenas em x\] próximos de \(1, mas com x\neq1.]
Passo 3
Reescrever a condição que aparece no enunciado de forma prática:
|f(x)-1|<1
significa que f(x) deve estar dentro do intervalo (0,2) (porque |y-1|<1 equivale a 0<y<2; aqui o 0< é apenas para expressar o intervalo aberto, e no nosso problema f(x) pode assumir valores positivos). Então vamos impor essa desigualdade separadamente para cada ramo da função perto de x=1.
Portanto, para qualquer x<1 que satisfaça 0<|x-1|<\alpha ser também garantia de |f(x)-1|<1, é necessário (e suficiente, nesse ramo) que \alpha\le \tfrac{1}{2}.
Passo 5
Análise para x>1 (ramo à direita).
Para x>1 temos f(x)=x^{3}. A condição é
|x^{3}-1|<1.
Como x>1 implica x^{3}-1>0, o valor absoluto desaparece e obtemos
x^{3}-1<1 \quad\Rightarrow\quad x^{3}<2.
Assim, para x>1 a condição é 1<x<\sqrt[3]{2}. Em termos de distância ao ponto 1 isso é
Para decidir qual dos dois é menor, compare numericamente ou por desigualdade: note que (1+\tfrac{1}{2})^{3}=(\tfrac{3}{2})^{3}=\tfrac{27}{8}=3{,}375>2. Assim \sqrt[3]{2}<\tfrac{3}{2}, logo
\sqrt[3]{2}-1<\tfrac{1}{2}.
Portanto o mínimo é \sqrt[3]{2}-1.
Passo 7
Conclusão: o maior valor de \alpha que satisfaz a condição do enunciado é \sqrt[3]{2}-1, que corresponde à alternativa (D).