[5^{a}) QUESTÃO

Considere a função real
f(x)= \begin{cases}-2 x+3, & \text { se } x<1 \\\\ 2, & \text { se } x=1 \\\ \frac{x^{4}-x^{3}}{x-1}, & \text { se } x>1\end{cases}
O maior valor de \alpha\] real para o qual \(0<|x-1|<\alpha \Rightarrow|f(x)-1|<1 é:
(A) \sqrt[3]{2}-\frac{1}{2}
(B) \frac{1}{2}
(C) \sqrt[3]{2}
(D) -1+\sqrt[3]{2}
(E) 1

Passo 1

Vou deixar claro o que o problema pede e quais informações ele dá.
  • A função é dada por partes:
f(x)= \begin{cases} -2x+3, & \text{se } x<1,\\[4pt] 2, & \text{se } x=1,\\[4pt] \dfrac{x^{4}-x^{3}}{x-1}, & \text{se } x>1. \end{cases}
  • O enunciado pergunta: qual é o maior número real \alpha tal que, sempre que 0<|x-1|<\alpha, então |f(x)-1|<1. Em outras palavras, queremos o maior raio \alpha de vizinhança ao redor de x=1 (excluindo o próprio x=1) em que os valores de f(x) ficam dentro da distância 1 de 1 — isto é, f(x) fica dentro do intervalo (0,2).
  • Informações relevantes extraídas: a expressão para f(x) é diferente à esquerda e à direita de x=1; portanto precisamos analisar separadamente o comportamento para x<1 e para x>1. Observe também que a condição usa 0<|x-1|<\alpha, logo não precisamos considerar o valor f(1)=2 (pois x=1 está excluído).]

Passo 2

Primeira observação útil: simplificar a expressão de f(x)\) para \(x>1\). Para \(x\neq1\), \[\frac{x^{4}-x^{3}}{x-1}=\frac{x^{3}(x-1)}{x-1}=x^{3}.
Portanto, para x>1 temos f(x)=x^{3}. Resumindo:
f(x)= \begin{cases} -2x+3, & x<1,\\[4pt] x^{3}, & x>1, \end{cases}
sempre lembrando que estamos interessados apenas em x\] próximos de \(1, mas com x\neq1.]

Passo 3

Reescrever a condição que aparece no enunciado de forma prática:
|f(x)-1|<1
significa que f(x) deve estar dentro do intervalo (0,2) (porque |y-1|<1 equivale a 0<y<2; aqui o 0< é apenas para expressar o intervalo aberto, e no nosso problema f(x) pode assumir valores positivos). Então vamos impor essa desigualdade separadamente para cada ramo da função perto de x=1.

Passo 4

Análise para x<1 (ramo à esquerda).
  • Para x<1 temos f(x)=-2x+3. Calculemos f(x)-1:
f(x)-1 = (-2x+3)-1 = -2x+2 = -2(x-1).
  • Tomando o valor absoluto:
|f(x)-1| = |{-2(x-1)}| = 2|x-1|.
  • A condição |f(x)-1|<1 vira
2|x-1|<1 \quad\Rightarrow\quad |x-1|<\tfrac{1}{2}.
Portanto, para qualquer x<1 que satisfaça 0<|x-1|<\alpha ser também garantia de |f(x)-1|<1, é necessário (e suficiente, nesse ramo) que \alpha\le \tfrac{1}{2}.

Passo 5

Análise para x>1 (ramo à direita).
  • Para x>1 temos f(x)=x^{3}. A condição é
|x^{3}-1|<1.
  • Como x>1 implica x^{3}-1>0, o valor absoluto desaparece e obtemos
x^{3}-1<1 \quad\Rightarrow\quad x^{3}<2.
  • Assim, para x>1 a condição é 1<x<\sqrt[3]{2}. Em termos de distância ao ponto 1 isso é
0<x-1<\sqrt[3]{2}-1 \quad\text{ou}\quad |x-1|<\sqrt[3]{2}-1.
Portanto, para o ramo direito ser sempre satisfatório quando 0<|x-1|<\alpha, é necessário (e suficiente, nesse ramo) que \alpha\le \sqrt[3]{2}-1.

Passo 6

Agora juntamos as duas restrições: para que a implicação
0<|x-1|<\alpha \quad\Rightarrow\quad |f(x)-1|<1
seja verdadeira para todos os x próximos de 1 (tanto à esquerda quanto à direita), devemos escolher \alpha que satisfaça simultaneamente
\alpha\le \tfrac{1}{2} \quad\text{e}\quad \alpha\le \sqrt[3]{2}-1.
Logo o maior \alpha possível é
\alpha=\min\!\left(\tfrac{1}{2},\,\sqrt[3]{2}-1\right).
Para decidir qual dos dois é menor, compare numericamente ou por desigualdade: note que (1+\tfrac{1}{2})^{3}=(\tfrac{3}{2})^{3}=\tfrac{27}{8}=3{,}375>2. Assim \sqrt[3]{2}<\tfrac{3}{2}, logo
\sqrt[3]{2}-1<\tfrac{1}{2}.
Portanto o mínimo é \sqrt[3]{2}-1.

Passo 7

Conclusão: o maior valor de \alpha que satisfaz a condição do enunciado é \sqrt[3]{2}-1, que corresponde à alternativa (D).

Resposta

(D) \,-1+\sqrt[3]{2}

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