Resolva as seguintes EDOs:
\left(3 x y+y^{2}\right) d x+\left(x^{2}+x y\right) d y=0.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (o que temos e o que se pede).
  • A equação diferencial dada é
\left(3 x y+y^{2}\right) d x+\left(x^{2}+x y\right) d y=0.
  • Identifico as funções do formato M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0:
M(x,y)=3xy+y^{2},\qquad N(x,y)=x^{2}+xy.
  • O que o exercício pede: encontrar a solução geral implícita (ou explícita, se possível) da equação diferencial dada.

Passo 2

Verificação rápida de exatidão e observação sobre os termos.
  • Calculo as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=3x+2y,\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=2x+y.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}\neq\dfrac{\partial N}{\partial x}, a forma não é exata; então não utilizo método de equação exata sem fator integrante.
  • Observação útil (motivação da técnica): todos os termos em M e N são homogêneos de grau 2 (cada monômio tem soma dos expoentes igual a 2): 3xy, y^2, x^2, xy. Isso sugere a substituição clássica y=vx (ou v=y/x), que costuma simplificar equações onde M e N têm o mesmo grau.

Passo 3

Aplicando a substituição y=vx e transformando a equação em uma em v e x.
  • Escrevo a derivada dy/dx usando y=vx:
y=vx\quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.
  • Reescrevo a equação original isolando \dfrac{dy}{dx}:
(3xy+y^{2})+(x^{2}+xy)\frac{dy}{dx}=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=-\frac{3xy+y^{2}}{x^{2}+xy}.
  • Faço fatorações que vão facilitar ao substituir y=vx:
\frac{dy}{dx}=-\frac{y(3x+y)}{x(x+y)}.
  • Substituo y=vx na expressão do lado direito:
\frac{dy}{dx}=-\frac{(vx)\bigl(3x+vx\bigr)}{x\bigl(x+vx\bigr)} =-\frac{v(3+v)}{1+v}.

Passo 4

Transformo a equação usando \dfrac{dy}{dx}=v+x\dfrac{dv}{dx} e isolo dv/dx.
  • Igualando as duas expressões para \dfrac{dy}{dx}:
v+x\frac{dv}{dx}=-\frac{v(3+v)}{1+v}.
  • Isolo o termo x\dfrac{dv}{dx}:
x\frac{dv}{dx}=-\frac{v(3+v)}{1+v}-v.
  • Coloco o lado direito sobre um denominador comum (1+v):
x\frac{dv}{dx}=-\frac{v(3+v)+v(1+v)}{1+v} =-\frac{v\bigl((3+v)+(1+v)\bigr)}{1+v} =-\frac{v(4+2v)}{1+v}.
  • Simplifico fatorando 2:
x\frac{dv}{dx}=-2\frac{v(2+v)}{1+v}.

Passo 5

Separo variáveis e preparo a integração.
  • Coloco todos os termos em v de um lado e x do outro:
\frac{1+v}{v(2+v)}\,dv=-2\frac{dx}{x}.
  • Agora vou integrar ambos os lados. Antes, faço a decomposição em frações parciais do integrando em v:
\frac{1+v}{v(2+v)}=\frac{A}{v}+\frac{B}{2+v}.
  • Determino A e B:
1+v=A(2+v)+Bv=2A+(A+B)v.
Comparando coeficientes:
2A=1\Rightarrow A=\tfrac{1}{2},\qquad A+B=1\Rightarrow B=\tfrac{1}{2}.
  • Logo
\frac{1+v}{v(2+v)}=\tfrac{1}{2}\left(\frac{1}{v}+\frac{1}{2+v}\right).

Passo 6

Integro ambos os lados e obtenho a relação implícita entre v e x.
  • Integração da esquerda:
\int\frac{1+v}{v(2+v)}\,dv=\tfrac{1}{2}\int\left(\frac{1}{v}+\frac{1}{2+v}\right)dv =\tfrac{1}{2}\bigl(\ln|v|+\ln|2+v|\bigr) =\tfrac{1}{2}\ln\bigl|v(2+v)\bigr|.
  • Integração da direita:
\int -2\frac{dx}{x}=-2\ln|x|+C.
  • Igualando os resultados:
\tfrac{1}{2}\ln\bigl|v(2+v)\bigr|=-2\ln|x|+C.
  • Multiplico por 2 e exponencio (absorvendo constantes) para simplificar:
\ln\bigl|v(2+v)\bigr|=-4\ln|x|+C' \quad\Rightarrow\quad \ln\!\bigl(|v(2+v)|x^{4}\bigr)=C'
\Rightarrow\quad |v(2+v)|x^{4}=C,
onde C é uma constante (podendo ser positiva ou negativa, então podemos omitir o valor absoluto e incorporar o sinal em C).

Passo 7

Volto da variável v para y e escrevo a solução implícita final.
  • Lembre que v=\dfrac{y}{x}. Então
v(2+v)=\frac{y}{x}\Bigl(2+\frac{y}{x}\Bigr)=\frac{y(2x+y)}{x^{2}}.
  • Substituo em |v(2+v)|x^{4}=C:
\left|\frac{y(2x+y)}{x^{2}}\right|x^{4}=C \quad\Rightarrow\quad x^{2}y(2x+y)=C,
onde, novamente, C é uma constante arbitrária (podendo ser positiva ou negativa).

Resposta

x^{2}y(2x+y)=C

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