Determine as trajetórias ortogonais da famillia de curvas:
x^{2}-y^{2}=a^{2}

Passo 1

O enunciado dá a família de curvas
x^{2}-y^{2}=a^{2}
onde a é um parâmetro constante (cada valor de a gera uma curva — aqui hipérboles). O que se pede: encontrar as trajetórias ortogonais a essa família, isto é, a família de curvas que corta ortogonalmente cada hipérbole dessa família.

Passo 2

Conceito necessário (explicado com calma): a inclinação (ou coeficiente angular) de uma curva num ponto é a derivada \dfrac{dy}{dx} naquele ponto. Duas curvas são ortogonais num ponto de interseção quando os coeficientes angulares m_1 e m_2 nesses pontos satisfazem
m_1\cdot m_2=-1.
Isto significa que o coeficiente angular da trajetória ortogonal é o negativo do recíproco do coeficiente angular da família dada. Em termos de derivadas: se a família dada tem \dfrac{dy}{dx}=f(x,y), então as trajetórias ortogonais satisfazem
\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{f(x,y)}.

Passo 3

Vamos obter o coeficiente angular da família dada por diferenciação implícita. Partimos de
x^{2}-y^{2}=a^{2}.
Derivando ambos os lados em relação a x (lembrando que y depende de x, então usa-se a regra da cadeia para y^{2}):
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(y^{2}\bigr)=\frac{d}{dx}\bigl(a^{2}\bigr).
Calculando termo a termo: \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x, \dfrac{d}{dx}(y^{2})=2y\cdot\dfrac{dy}{dx}, e \dfrac{d}{dx}(a^{2})=0 porque a é constante. Assim:
2x-2y\frac{dy}{dx}=0.
Isolando \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}.
Portanto o coeficiente angular da família dada é f(x,y)=\dfrac{x}{y}.

Passo 4

Usando a condição de ortogonalidade: o coeficiente angular m_{\perp} das trajetórias ortogonais deve satisfazer
m_{\perp}=-\frac{1}{f(x,y)}=-\frac{1}{\dfrac{x}{y}}=-\frac{y}{x}.
Logo as trajetórias ortogonais são soluções da equação diferencial
\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}.

Passo 5

Resolver a equação diferencial obtida. Observação: esta é uma equação separável. Reescrevendo:
\frac{1}{y}\,dy=-\frac{1}{x}\,dx.
Agora integramos ambos os lados (explicando: integrar \dfrac{1}{y}\,dy \ln|y|, integrar -\dfrac{1}{x}\,dx -\ln|x|):
\int \frac{1}{y}\,dy = \int -\frac{1}{x}\,dx
\ln|y| = -\ln|x| + C,
onde C é constante de integração (cada valor de C gera uma curva da família ortogonal).

Passo 6

Manipulando a igualdade para escrever numa forma mais explícita: somando \ln|x| aos dois lados,
\ln|x|+\ln|y|=C.
Pela propriedade dos logaritmos, \ln|x|+\ln|y|=\ln|xy|. Então
\ln|xy|=C.
Exponenciando ambos os lados (tomando e^{(\cdot)}), obtemos
|xy|=e^{C}.
Chamando K=e^{C} (constante positiva) e permitindo constante C' que possa ser qualquer real (incluindo sinal), a forma geral das trajetórias ortogonais fica
xy=\text{const}.
É comum denotar essa constante por k ou C. Portanto a família das trajetórias ortogonais é
xy=k,
onde k é constante real.

Passo 7

Verificação rápida (chega pra tirar dúvida): a derivada de xy=k por diferenciação implícita é
x\frac{dy}{dx}+y=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x},
que é exatamente o que encontramos no Passo 4; multiplicando os coeficientes angulares nos pontos de interseção:
\left(\frac{x}{y}\right)\left(-\frac{y}{x}\right)=-1,
confirmando a ortogonalidade.

Resposta

xy=C

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