Determine as trajetórias ortogonais da famillia de curvas:
Passo 1
O enunciado dá a família de curvas
onde
é um parâmetro constante (cada valor de
gera uma curva — aqui hipérboles). O que se pede: encontrar as trajetórias ortogonais a essa família, isto é, a família de curvas que corta ortogonalmente cada hipérbole dessa família.
Passo 2
Conceito necessário (explicado com calma): a inclinação (ou coeficiente angular) de uma curva num ponto é a derivada
naquele ponto. Duas curvas são ortogonais num ponto de interseção quando os coeficientes angulares
e
nesses pontos satisfazem
Isto significa que o coeficiente angular da trajetória ortogonal é o negativo do recíproco do coeficiente angular da família dada. Em termos de derivadas: se a família dada tem
, então as trajetórias ortogonais satisfazem
Passo 3
Vamos obter o coeficiente angular da família dada por diferenciação implícita. Partimos de
Derivando ambos os lados em relação a
(lembrando que
depende de
, então usa-se a regra da cadeia para
):
Calculando termo a termo:
,
, e
porque
é constante. Assim:
Isolando
:
Portanto o coeficiente angular da família dada é
.
Passo 4
Usando a condição de ortogonalidade: o coeficiente angular
das trajetórias ortogonais deve satisfazer
Logo as trajetórias ortogonais são soluções da equação diferencial
Passo 5
Resolver a equação diferencial obtida. Observação: esta é uma equação separável. Reescrevendo:
Agora integramos ambos os lados (explicando: integrar
dá
, integrar
dá
):
onde
é constante de integração (cada valor de
gera uma curva da família ortogonal).
Passo 6
Manipulando a igualdade para escrever numa forma mais explícita: somando
aos dois lados,
Pela propriedade dos logaritmos,
. Então
Exponenciando ambos os lados (tomando
), obtemos
Chamando
(constante positiva) e permitindo constante
que possa ser qualquer real (incluindo sinal), a forma geral das trajetórias ortogonais fica
É comum denotar essa constante por
ou
. Portanto a família das trajetórias ortogonais é
onde
é constante real.
Passo 7
Verificação rápida (chega pra tirar dúvida): a derivada de
por diferenciação implícita é
que é exatamente o que encontramos no Passo 4; multiplicando os coeficientes angulares nos pontos de interseção:
confirmando a ortogonalidade.