5ª Questão: Dada a matriz A=(ccc2 & 1 & -3 1 & 0 & -2 0 & 0 & 1).\nUtilize o desenvolvimento de Laplace e encontre det A e encontre det A^top;

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 2 & 1 & -3 1 & 0 & -2 0 & 0 & 1
e pede para calcular det A e det A^top usando desenvolvimento de Laplace. Vamos usar a ideia de expandir ao longo de uma linha ou coluna que contenha zeros, facilitando o cálculo dos cofatores.

Passo 2

Para encontrar det A fazemos expansão de Laplace ao longo da terceira linha, que é (0,0,1). Só o elemento ;a33=1 contribui, com sinal (−1)^3+3=+. Assim,
det A = 1 cdot M33,
onde M33 é o determinante do menor obtido eliminando a 3ª linha e a 3ª coluna de A:
M33 = det 2 & 1 1 & 0 = 2cdot0 - 1cdot1 = -1
Logo,
det A = 1cdot(-1) = -1

Passo 3

Para det A^top podemos usar a propriedade geral de determinantes
det(A^top) = det(A)
Ou, se preferir, verificar por Laplace: em
A^top = 2 & 1 & 0 1 & 0 & 0 -3 & -2 & 1
a terceira coluna é (0,0,1), repetindo exatamente o mesmo cálculo do passo anterior e obtendo det A^top=-1.

Resposta

det A = -1
det A^top = -1

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