6ª Questão: Dada a matriz A=(ccc1 & 2 & -1 3 & 5 & 2 1 & -3 & 1). Encontre o posto e a nulidade dessa matriz.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 2 & -1 3 & 5 & 2 1 & -3 & 1
e pede o posto ( rank(A)) e a nulidade ( dimker(A)). O conteúdo aqui é teoria de espaços vetoriais: vamos usar o teste de invertibilidade (cálculo de determinante) para obter o posto de A e em seguida aplicar o Teorema da Dimensão (rank–nullity).

Passo 2

Calcular det(A) por expansão de primeira linha:
det(A) = 1cdotdet5 & 2 -3 & 1 - 2cdotdet3 & 2 1 & 1 +(-1)cdotdet3 & 5 1 & -3
= 1cdot(5cdot1 - 2cdot(-3)) - 2cdot(3cdot1 - 2cdot1) +(-1)cdot(3cdot(-3) - 5cdot1)
Separando cada menor:
5cdot1 - 2cdot(-3) = 11
3cdot1 - 2cdot1 = 1
3cdot(-3) - 5cdot1 = -14
Logo
det(A) = 11 - 2 + 14 = 23

Passo 3

Como det(A)=23neq0, a matriz A é invertível em R^3. Isso implica que as três colunas de A são linearmente independentes, ou seja,
rank(A)=3

Passo 4

Pelo Teorema da Dimensão (rank–nullity) para uma aplicação de R^3 em R^3 vale
rank(A) + dimker(A) = 3
Substituindo rank(A)=3 obtemos
dimker(A)=0

Resposta

O posto de A é 3 e a nulidade de A é 0.

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