Sejam u, v, w vetores linearmente independentes. Mostre que os conjuntos S dados são linearmente independentes.
S=u+v-2 w, u-v-w, u+w

Passo 1

O enunciado dá vetores ,u,v,w, linearmente independentes e pede para provar que o conjunto
S = ,u+v-2w,;u-v-w,;u+w
também é linearmente independente. Vamos usar a definição de independência linear: um conjunto é independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é a trivial (todos os coeficientes nulos).

Passo 2

Suponha que exista uma combinação
alpha,(u+v-2w);+;beta,(u-v-w);+;gamma,(u+w);=;0
Nosso objetivo é mostrar que alpha=beta=gamma=0.

Passo 3

Expandindo e agrupando em u, v e w, temos
alpha u + alpha v - 2alpha w ;+; beta u - beta v - beta w ;+; gamma u + gamma w ;=;0
Logo,
(alpha + beta + gamma),u ;+;(alpha - beta),v;+;(-2alpha - beta + gamma),w ;=;0

Passo 4

Como
Da segunda equação vem . Na terceira surge
logo , e então , .

Passo 5

A única combinação linear que anula os vetores de S é a trivial ( alpha=beta=gamma=0). Portanto S é linearmente independente.

Resposta

O conjunto S=u+v-2w,;u-v-w,;u+w é linearmente independente.

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