Sejam
vetores linearmente independentes. Mostre que os conjuntos
dados são linearmente independentes.
Passo 1
O enunciado dá vetores
, linearmente independentes e pede para provar que o conjunto
também é linearmente independente. Vamos usar a definição de independência linear: um conjunto é independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é a trivial (todos os coeficientes nulos).
Passo 2
Suponha que exista uma combinação
Nosso objetivo é mostrar que
.
Passo 3
Expandindo e agrupando em
,
e
, temos
Logo,
Passo 4
Como
Da segunda equação vem . Na terceira surge
logo
, e então
,
.
Passo 5
A única combinação linear que anula os vetores de
é a trivial (
). Portanto
é linearmente independente.
Resposta
O conjunto
é linearmente independente.