5¹ Questão - Valor 6,0 pts

Encontre a solução geral de
d yd x=x-yx-y^2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
dydx = x - yx - y^2
O conteúdo aqui é o método de equação exata. Vamos reescrever em forma diferencial M(x,y),dx + N(x,y),dy=0, verificar se é exata ( partial M/partial y = partial N/partial x) e, em seguida, encontrar uma função potencial psi(x,y) tal que dpsi=M,dx+N,dy.

Passo 2

Reescrevendo
x - yx - y^2 - dydx = 0 Longrightarrow (x - y^2),dy - (x - y),dx = 0
Logo
M(x,y) = y - x, N(x,y) = x - y^2
Calculamos
partial Mpartial y = 1, partial Npartial x = 1,
portanto a equação é exata.

Passo 3

Buscamos psi(x,y) tal que
partial psipartial x = M = y - x, partial psipartial y = N = x - y^2
Integrando partial psi/partial x em relação a x:
psi(x,y) = integral (y - x),dx = xy - tfracx^22 + h(y)
Derivando em relação a y:
partial psipartial y = x + h'(y)
e igualando a N obtemos
x + h'(y) = x - y^2 Longrightarrow h'(y) = -y^2 Longrightarrow h(y) = -tfracy^33
Assim
psi(x,y) = xy - tfracx^22 - tfracy^33

Passo 4

A solução geral vem de psi(x,y)=C, i.e.,
xy - x^22 - y^33 = C,
com C constante arbitrária.

Resposta

A solução geral é
xy - x^22 - y^33 = C

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