4^a Questão - Valor 6,0 pts

Determine a solução geral da equação
d yd x-2 yx=3 x y^2, x>0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral de
dydx-2,yx=3,x,y^2, x>0
Isso é uma equação diferencial de Bernoulli, que tem a forma
dydx+P(x),y=Q(x),y^n
Aqui temos P(x)=-tfrac2x, Q(x)=3x e n=2. Para resolver, vamos usar a transformação canônica de Bernoulli.

Passo 2

Na transformação de Bernoulli definimos
z = y^1-n = y^1-2 = y^-1
Calculamos então
dzdx = -1cdot y^-2,dydx = -y^-2,dydx
Multiplicando a equação original por -y^-2 obtemos
-y^-2,dydx +2,yx,y^-2 = -3,x,y^2,y^-2,
ou seja
dzdx + 2,zx = -3,x

Passo 3

A equação para z é linear:
dzdx + 2x,z = -3,x
O fator integrante é
mu(x) = exp!l(integral 2x,dxr) = x^2
Multiplicando tudo por x^2 vem
x^2,dzdx +2x,z = -3,x^3,
e o lado esquerdo é a derivada de (x^2z).

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
ddxl(x^2zr) = -3,x^3 Longrightarrow x^2z = integral -3,x^3,dx = -34,x^4 + C,
onde C é a constante de integração. Logo
z = -34,x^2 + C,x^-2

Passo 5

Voltando à variável y, lembramos que z = y^-1. Então
1y = -34,x^2 + C,x^-2 Longrightarrow y = 1-tfrac34x^2 + C,x^-2
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por 4x^2:
y = 4x^2-3x^4 + 4C
Renomeando a constante geral como K=4C, a forma mais limpa da solução é
y(x) = 4,x^2K - 3,x^4, KinR

Resposta

y(x) = 4,x^2K - 3,x^4, KinR,;x>0

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