[5.] Resolver a EDO com coeficientes quase homogêneos,
(x-y+3) d x+(x-2 y+5) d y=0
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial na forma de forma diferencial exata não necessariamente exata:
(x-y+3)\,dx + (x-2y+5)\,dy = 0.
O que se pede é resolver essa EDO, ou seja, encontrar a família geral de curvas implícita ou explicitamente.
Informações dadas que vamos usar:
Os coeficientes são funções afins (lineares mais constantes): M(x,y)=x-y+3 e N(x,y)=x-2y+5.
Não é exata porque \partial M/\partial y = -1 e \partial N/\partial x = 1, então \partial M/\partial y \neq \partial N/\partial x.
Observação importante (útil aqui): ambos M e N são polinomiais de grau 1 mais constantes; existe um ponto (x_0,y_0) que anula as constantes, tornando a equação homogênea em novas variáveis — essa é a ideia de “coeficientes quase homogêneos” que vamos aplicar.
Passo 2
Objetivo do passo: encontrar a translação do eixo que zere as constantes em M e N. Procuramos (x_0,y_0) tal que
Essa é a solução implícita geral da EDO. Dá para reescrever em forma exponencial para eliminar logaritmos, mas a forma com logaritmos já descreve a família geral de curvas.
Uma observação final e encorajamento: a ideia-chave foi deslocar o sistema para o ponto que anula as constantes (encontrado resolvendo duas equações lineares), obtendo então uma equação homogênea que se resolve com a substituição v=uz. Esse padrão aparece com frequência em exercícios de “coeficientes quase homogêneos”: tente sempre buscar um centro que zere os termos constantes.