[6.] Utilizando a técnica de resolução de EDOs coeficientes quase homogêneos, resolva a EDO;
(x-y-1) d x+(x+4 y-6) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial na forma de 1-forma:
(x-y-1)\,dx + (x+4y-6)\,dy = 0.
O que se pede é encontrar a solução geral implícita dessa EDO. As informações relevantes fornecidas:
  • Os coeficientes de dx e dy são funções lineares em x e y com termos constantes: M(x,y)=x-y-1 e N(x,y)=x+4y-6.
  • É possível tentar eliminar os termos constantes por uma mudança de variáveis do tipo u=x-x_0,\;v=y-y_0 onde (x_0,y_0) anula simultaneamente M e N. Esta técnica transforma os coeficientes em funções homogêneas (sem termos constantes), o que facilita a resolução.

Passo 2

Vamos achar o ponto (x_0,y_0)\) tal que \[\begin{cases} x_0 - y_0 - 1 = 0,\\[4pt] x_0 + 4y_0 - 6 = 0. \end{cases}
Resolver passo a passo: da primeira equação vem x_0 = y_0 + 1\]. Substituindo na segunda: \[(y_0+1) + 4y_0 - 6 = 0 \quad\Rightarrow\quad 5y_0 -5 = 0 \quad\Rightarrow\quad y_0 = 1.\] Então \(x_0 = y_0 + 1 = 2. Definimos a mudança de variáveis
u = x - 2,\qquad v = y - 1.
Explicação didática curta: ao deslocar o sistema para o ponto (2,1) os termos constantes serão eliminados dos coeficientes, ficando apenas termos homogêneos (grau 1) em u,v.]

Passo 3

Substituindo x = u+2,\;y = v+1 e usando dx = du,\;dy = dv na EDO:
\big((u+2)-(v+1)-1\big)du + \big((u+2)+4(v+1)-6\big)dv = 0.
Calculemos os parênteses:
(u+2)-(v+1)-1 = u - v, \qquad (u+2)+4(v+1)-6 = u + 4v.
Logo a EDO fica
(u - v)\,du + (u + 4v)\,dv = 0.
Comentário didático: agora os coeficientes são homogêneos de grau 1 em u,v. Para equações homogêneas é conveniente usar a substituição u = z v (ou simetricamente v = w u). Aqui escolho u = z v porque facilita a separação das variáveis.

Passo 4

Colocando u = z v com v\neq 0. Calculamos du = z\,dv + v\,dz. Substituindo na EDO:
(zv - v)(z\,dv + v\,dz) + (zv + 4v)\,dv = 0.
Fatorando v (que assumimos não nulo) dá
v\big[(z-1)(z\,dv + v\,dz) + (z+4)\,dv\big] = 0.
Dividindo por v e agrupando termos em dv e dz:
(z-1)z\,dv + (z-1)v\,dz + (z+4)\,dv = 0.
Somando os termos em dv:
\big(z(z-1) + (z+4)\big) dv + (z-1)v\,dz = 0.
Simplificando o coeficiente de dv:
z(z-1) + (z+4) = z^2 - z + z + 4 = z^2 + 4.
Logo obtemos a equação separável
(z^2+4)\,dv + (z-1)v\,dz = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dv}{v} = -\frac{z-1}{z^2+4}\,dz.

Passo 5

Integramos ambos os lados. À esquerda:
\int \frac{dv}{v} = \ln|v| + C_1.
À direita precisamos integrar -\displaystyle\int \frac{z-1}{z^2+4}\,dz. Decompondo:
\frac{z-1}{z^2+4} = \frac{z}{z^2+4} - \frac{1}{z^2+4}.
As primitivas conhecidas são
\int \frac{z}{z^2+4}\,dz = \frac{1}{2}\ln(z^2+4), \qquad \int \frac{1}{z^2+4}\,dz = \frac{1}{2}\arctan\!\big(\tfrac{z}{2}\big).
Portanto
-\int \frac{z-1}{z^2+4}\,dz = -\frac{1}{2}\ln(z^2+4) + \frac{1}{2}\arctan\!\big(\tfrac{z}{2}\big) + C_2.
Igualando as integrais (absorvendo constantes em uma só):
\ln|v| = -\frac{1}{2}\ln(z^2+4) + \frac{1}{2}\arctan\!\big(\tfrac{z}{2}\big) + C.
Multiplicando por 2 e combinando logaritmos:
2\ln|v| + \ln(z^2+4) = \arctan\!\big(\tfrac{z}{2}\big) + C' \quad\Longleftrightarrow\quad \ln\!\big(v^2(z^2+4)\big) = \arctan\!\big(\tfrac{z}{2}\big) + C'.

Passo 6

Voltando às variáveis originais: z = \dfrac{u}{v} = \dfrac{x-2}{y-1} e v = y-1. Observe que
v^2(z^2+4) = v^2\Big(\frac{u^2}{v^2} + 4\Big) = u^2 + 4v^2 = (x-2)^2 + 4(y-1)^2.
Substituindo na relação encontrada:
\ln\!\big((x-2)^2 + 4(y-1)^2\big) = \arctan\!\left(\frac{x-2}{2(y-1)}\right) + C,
onde C é a constante de integração. Esta é a solução geral implícita da EDO (válida quando y\neq 1, que foi a hipótese ao dividir por v).

Passo 7

Notas sobre casos especiais e domínio (breve e prático):
  • A dedução assumiu v=y-1\neq 0. Se y=1 então dy=0 e a equação original reduz a (x-2)\,dx=0. Isso só é satisfeito identicamente se x for constante x=2; portanto a única possibilidade com y=1 é o ponto isolado (2,1), não uma curva solução contínua.
  • Assim a solução implícita acima é a solução geral em regiões onde y\neq 1. Em problemas práticos, basta garantir y\neq 1 ou interpretar a constante de integração conforme o domínio.

Resposta

\displaystyle \ln\!\big((x-2)^2 + 4(y-1)^2\big) - \arctan\!\left(\frac{x-2}{2(y-1)}\right) = C

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