[6.] Utilizando a técnica de resolução de EDOs coeficientes quase homogêneos, resolva a EDO;
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial na forma de 1-forma:
O que se pede é encontrar a solução geral implícita dessa EDO. As informações relevantes fornecidas:
- Os coeficientes de
e são funções lineares em e com termos constantes: e . - É possível tentar eliminar os termos constantes por uma mudança de variáveis do tipo
onde anula simultaneamente e . Esta técnica transforma os coeficientes em funções homogêneas (sem termos constantes), o que facilita a resolução.
Passo 2
Vamos achar o ponto
Resolver passo a passo: da primeira equação vem
. Definimos a mudança de variáveis
Explicação didática curta: ao deslocar o sistema para o ponto
os termos constantes serão eliminados dos coeficientes, ficando apenas termos homogêneos (grau 1) em
.]
Passo 3
Substituindo
e usando
na EDO:
Calculemos os parênteses:
Logo a EDO fica
Comentário didático: agora os coeficientes são homogêneos de grau 1 em
. Para equações homogêneas é conveniente usar a substituição
(ou simetricamente
). Aqui escolho
porque facilita a separação das variáveis.
Passo 4
Colocando
com
. Calculamos
. Substituindo na EDO:
Fatorando
(que assumimos não nulo) dá
Dividindo por
e agrupando termos em
e
:
Somando os termos em
:
Simplificando o coeficiente de
:
Logo obtemos a equação separável
Passo 5
Integramos ambos os lados. À esquerda:
À direita precisamos integrar
. Decompondo:
As primitivas conhecidas são
Portanto
Igualando as integrais (absorvendo constantes em uma só):
Multiplicando por
e combinando logaritmos:
Passo 6
Voltando às variáveis originais:
e
. Observe que
Substituindo na relação encontrada:
onde
é a constante de integração. Esta é a solução geral implícita da EDO (válida quando
, que foi a hipótese ao dividir por
).
Passo 7
Notas sobre casos especiais e domínio (breve e prático):
- A dedução assumiu
. Se então e a equação original reduz a . Isso só é satisfeito identicamente se for constante ; portanto a única possibilidade com é o ponto isolado , não uma curva solução contínua. - Assim a solução implícita acima é a solução geral em regiões onde
. Em problemas práticos, basta garantir ou interpretar a constante de integração conforme o domínio.